非光滑优化问题的弱尖锐极小解的特征刻画及其应用

摘要

本文主要研究无约束优化问题(P)minf(x) subject to x∈X弱尖锐极小解的初始特征刻画和对偶特征刻画，其中X是巴拿赫空间，f:X→(R)是下半连续的真函数。为了利用无约束优化问题给出解决带无限不等式约束优化问题的一致性方法，我们引进了更广义的弱尖锐极小解的概念。通过运用巴拿赫空间的方向导数和切锥以及运用对偶空间的的法锥和次微分，研究目标函数f凸和非凸情形下的弱尖锐极小解的几何特征。本文的主要内容分为以下两部分:
　　在第一部分中，我们研究目标函数f为凸函数的情形。对带闭凸约束集的优化问题，为了明确目标函数和约束集在一阶最优化条件中的作用，我们总是假定正则化条件MQC成立。在此基础上，我们考察弱尖锐极小解的各种特征。初始的特征从某种意义讲比较基础，从定义出发考虑，需要用到方向导数和切锥。对偶的特征则需要用到大量的对偶性结论和次微分公式。通过运用巴拿赫空间的对偶技巧和凸分析的技巧，我们得到相应优化问题的全局弱尖锐极小解，局部弱尖锐极小解和有界弱尖锐极小解成立的充分必要条件。特别地，当约束集为全空间时，得到了巴拿赫空间中无约束优化问题(P)的弱尖锐极小解的等价刻画。我们的结果推广和改进了凸优化中的相应结论。作为应用，我们考查了凸无限优化问题的弱尖锐极小解。通过更广义的弱尖锐极小解的定义，建立约束优化问题与基本的无约束优化问题的等价关系。在此基础上，利用上确界函数的相应次微分公式，得到无限优化问题的弱尖锐极小解的各种几何特征。
　　在第二部分中，我们考虑了目标函数f非凸的情形。文中引入了比凸更广的D-次光滑和D-半次光滑的概念。运用非光滑分析和变分分析的技巧，我们首先研究了无约束优化问题(P)在巴拿赫空间和Asplund空间中的局部弱尖锐极小解存在的充分和必要条件。在此基础上，利用与基本的无约束优化问题的等价关系，我们研究了无限优化问题的弱尖锐极小解。为此，我们给出D-次光滑和D-半次光滑背景下具有上半连续性质的和函数与上确界函数的次微分公式，进而得到相应优化问题的弱尖锐极小解关于Fréchet次微分，极限次微分和Clarke次微分的特征刻画。考虑到无限优化问题与数学规划中线性正则性的关系，我们还研究了闭集合族-致D-次光滑背景和复合凸背景下的线性正则性的等价对偶特征刻画。我们的结果推广和改进了非凸优化中的相应结论。

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致谢

摘要

ABSTRACT

Contents

Chapter 1 Introduction

Chapter 2 Notations and preliminaries

2．1 The definitions of subdifferential

2．2 Tangent and normal cones

2．3 The definit ions of semi-continuity

Chapter 3 Weak sharp minima for convex optimization problems

3．1 Introduction

3．2 Preliminaries

3．3 Weak sharp minima theorems in convex case

3．4 Applications for convex infinite optimization problems

Chapter 4 Weak sharp minima for nonconvex optimxzation problems

4．1 Introduction

4．2 New definition of restricted subsmoothness

4．3 Weak sharp minima theorems in restricted subsmooth case

4．3．1 Weak sharp minima in Banach spaces

4．3．2 Weak sharp minima in Asplund spaces

4．4 Applications for restricted subsmooth infinite optimization problems

4．4．1 Applications in Banach spaces

4．4．2 Applications in Asplund spaces

4．5 Applications for linear regularity

4．5．1 Linearly regularity in Banach spaces

4．5．2 Linearly regularity in Asplund spaces

4．5．3 Applications for convex-composite optimization

Chapter 5 Conclusions

Bibliography

简历

攻读博士学位期间主要研究成果