Fourier-Besov空间与振荡积分及其应用

摘要

调和分析中的方法技巧，系统化的概念或理论，都在方程的实际应用中，发挥巨大的作用.本文主要利用调和分析中的Littlewood-Paley理论综合性的讨论Fourier-Besov空间的定义、性质，并得到其在广义Navier-Stokes方程中的一些应用;此外本文利用振荡积分的理论方法研究了阻尼波动方程的一些估计及适定性.
　　论文分为五个章节，其主要内容安排为:
　　第一章回顾本文课题的研究背景与现状，综合论述Fourier-Besov空间的发展和已有研究成果，广义Navier-Stokes方程的研究情况以及阻尼波动方程的一些进展.并且在比较的基础上，给出本文的主要定理.
　　第二章集中讨论Fourier-Besov空间.简要回顾Littlewood-Paley理论和Besov空间的定义以及一些基本性质.通过与Besov空间类似的方式定义Fourier-Besov空间，从这一定义出发，讨论这个空间的等价形式、与其它空间的关系、包含嵌入、插值等性质.尤其是通过Bony分解的方法，给出Fourier-Besov空间的乘积估计.这一章的内容，也是在后面的两章Fourier-Besov空间的应用中经常要用的.
　　第三章第四章给出Fourier-Besov空间在广义Navier-Stokes方程中的一些应用，综合性的考虑广义Navier-Stokes方程在Fourier-Besov空间中的性质.第三章考虑小初值的全局适定性，并在此基础上证明解关于时间的全局衰减性.尤其是得到了方程在端点情形β=1/2时的一个全局适定性.第四章则研究广义Navier-Stokes方程在Fourier-Besov空间中解的爆破准则以及空间正则性.为证明爆破准则关键在于构造方程在关于时间具有连续性的空间中的解，为此证明了方程在Fourier-Besov空间中另外一种形式的解，而空间正则性则采用Gevrey类的办法.
　　第五章考虑振荡积分在高阶阻尼波动方程中的应用.通过基本解的表达形式，发现其核算子的表现呈现着不同的变化:在低频部分表现为热核算子，而在高频部分是一个振荡积分的形式.因此这一章首先分成三部分估计核的点态估计，从而得到基本解在Lp空间上的估计，并进一步利用这些估计得到方程的一个全局解结果.

目录

声明

摘要

第一章 绪论

第二章 Littlewood-Paley理论和Fourier-Besov空间

2．1 Littlewood-Paley理论

2．2 空间定义

2．3 Fourier-Besov空间的性质

第三章 广义Navier-Stokes方程的全局解及其衰减性

3．1 引言及主要定理

3．2 全局解的证明

3．3 衰减性的证明

第四章 广义Navier-Stokes方程的爆破准则与空间正则性

4．1 引言及主要定理

4．2 局部解与爆破准则

4．3 空间正则性

第五章 高阶阻尼波动方程的一些估计

5．1 引言及主要定理

5．2 核的估计

5．2．1 低频估计

5．2．2 中频估计

5．2．3 高频估计

5．3 定理的证明

参考文献

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