若干随机扩散模型的统计推断及数值解

摘要

在现代金融理论中，资产定价和风险管理是两大核心问题.由于由随机微分方程定义的扩散过程是衍生品价格过程的一个很好的近似模型.所以这两个问题的本质分别是随机微分方程的数值解和扩散模型的统计推断.本文主要对几类不同的扩散模型就这两方面做了研究，主要内容如下:
　　本文第一部分考虑了二阶带跳扩散模型.基于无穷小矩条件给出了二阶带跳扩散过程漂移系数和扩散系数的局部线性估计量，这种估计量有较好的有限样本性质和设计适应性质，能自动校正边界影响.在渐近最小最大意义上，它是最佳线性估计.在较温和的假设条件下，我们证明了该估计量的相合性和渐近正态性.
　　本文的第二部分讨论了随机波动率模型.这种估计量在一定情况下能克服隐含波动率的”微笑”和”偏斜”现象.我们考虑用经验似然方法构造波动率过程中扩散系数的经验似然置信区间.相较于正态逼近构造的置信区间，这种置信区间的构造不需要对渐近方差的估计，它的形状和方向完全由数据驱动.在本章中，我们基于Fourier估计，构造了扩散系数的经验似然比估计量，在较温和的条件下建立了估计量的极限理论.
　　本文的第三部分讨论了随机波动率广义非线性带跳扩散模型，相较于第二部分介绍的随机波动率模型，这类模型引入Lévv过程来刻画价格的跳跃，更符合金融市场中衍生品的价格波动过程.我们构造了波动率过程中未知系数的经验似然比统计量.在一定条件下证明该估计量渐近服从标准x2分布，并基于此构造了波动率过程中未知系数的经验似然置信区间.
　　本文的第四部分考虑了随机采样下随机微分方程的数值解方法.Milstein方法是一种Euler方法的改进，提高了收敛速度.不等距、随机采样在一定程度上也能提高收敛速度.本章考虑结合这两点，给出了不等距、随机采样下连续局部鞅驱动的随机微分方程Milstein方法误差过程的渐近（弱收敛）结果.

目录

声明

致谢

序言

文中部分缩写及符号说明

摘要

第一章 二阶带跳扩散模型的局部线性估计

1．1 引言

1．2 局部线性估计与假设

1．3 引理及主要结果

1．4 模拟结果

1．5 主要结果证明

1．6 附录

第二章 随机波动率模型扩散系数的经验似然推断

2．1 引言

2．2 经验似然基础上的估计量

2．3 假设条件及主要结果

2．4 技术性引理及主要结果的证明

第三章 带跳随机波动率模型扩散系数的经验似然推断

3．1 引言

3．2 假设条件及主要结果

3．3 主要引理

3．4 相关证明

第四章 随机采样下随机微分方程Milstein方法的渐近误差

4．1 引言

4．2 记号与主要结果

4．3 技术性引理及其证明

4．4 主要结果的证明

参考文献

攻读博士学位期间论文完成情况

作者简历