基于分解法和Kaczmarz法的声波反散射问题求解算法

摘要

声波散射和电磁波散射作为数学物理中的一个重要研究领域，在非破坏性检测、医学成像、探测石油天然气、空间遥感、现代雷达探测、目标隐身技术、地震勘测以及海底资源探索等众多科学领域有广阔的应用前景。本文所关注的是声波反散射问题，主要目的是利用散射波的远场模式重构软声波障碍物的边界，其主要难点在于问题的不适定性和非线性性。本文在原有的分解法的基础上展开研究，主要分为三个部分: (1)研究声波散射的正问题，重点考虑二维Dirichlet边界条件下不可穿透障碍物的正散射问题，利用Nystr(o)m方法离散声波双层位势，并给出正问题的数值模拟。 (2)基于分解法和牛顿法重建障碍物边界。其基本思路是:利用分解法的思想将问题转化成一个非线性、不适定的算子方程，该算子将边界映射成声波在边界上的总波场。在线性不适定步骤，利用Tikhonov正则化方法由远场数据来重构近场，而在非线性步骤则利用牛顿迭代法寻找条件符合的边界。 (3)考虑到分解-牛顿算法中所存在的对于噪声数据不稳定的问题，本文在分解-牛顿算法的基础上提出了分解-Kaczmarz算法。该算法利用多频入射波散射，构建算子方程组。在求解方程组的过程中运用了循环迭代的思想，数值算例表明该算法有效提高了重构结果关于噪声数据的稳定性。这正是本文的创新点所在。 以上三部分本文均使用Matlab软件进行数值模拟。

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摘要

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表格

1 绪论

1．1课题背景

1．2国内外研究现状

1．3本文主要研究工作及结构安排

2散射理论概述

2．1声波散射问题的数学描述

2．1．1声波散射问题的基本工具

2．1．2 Hankel函数与Helmholtz方程的基本解

2．1．3基本理论结果

2．2软声波障碍物散射正问题的数值解法

2．2．1计算方法

2．2．2正问题数值模拟

3 基于分解法和牛顿法的障碍物边界重构算法

3．1．1 由远场数据近似求解密度函数

3．1．2通过牛顿迭代求解更新边界

3．2数值模拟

4基于分解法和Kaczmarz法的障碍物边界重构算法

4．1 Kaczmarz迭代算法简介

4．2分解-Kaczmarz算法的数学分析

4．3数值算例

5总结与展望

5．1 总结

5．2展望

参考文献

致谢