一些随机流体方程的局部解和整体解的研究

摘要

本文主要研究四类重要的随机流体方程，它们分别为:带可乘白噪的随机Navier-Stokes方程，带可加白噪的随机三维不可压各向异性Navier-Stokes方程，带可乘白噪的随机Boussinesq方程以及随机初值的MHD方程。 具体来说，本文的主要内容有以下几方面: 第1章主要介绍了上述方程的物理背景以及分别在确定情况和随机情况的研究现状，并简要叙述了本文的主要工作。 第2章介绍了Sobolev空间和Besov空间，随机积分以及一些重要的不等式。 第3章考虑了带可乘白噪的随机Navier-Stokes方程在临界空间的强解的局部存在性和概率意义下的整体存在性，将解空间推广到负指标的Besov空间，从而囊括了一类高振荡的“大”初值。 第4章考虑了带可加白噪的随机三维不可压各向异性随机Navier-Stokes方程的强解的局部存在性和概率意义下的整体存在性，并得出，当初值的L2模充分小时，解是整体存在的。 第5章考虑了带可乘白噪的随机Boussinesq方程的强解的局部存在性，以及线性可乘白噪的正则性效应。 第6章考虑了初值随机化的MHD方程，并且得到了初值属于Hs（Td）(-1＜s＜0)时的弱解的整体存在性。 第7章罗列了目前随机流体方程中一些仍未解决的问题以及未来研究的方向。

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声明

致谢

摘要

1 绪论

1．1 引言

1．2 随机Navier-Stokes方程

1．3 随机三维不可压各项异性Navier-Stokes方程

1．4随机Boussinesq方程

1．5初值随机化MHD方程

2．1 解析框架

2．1．1 Besov空间和Chemin-Lemer型空间

2．1．2一些重要不等式和引理

2．2随机框架

2．2．1 随机积分

3．1 主要结果

3．2双线性项估计以及随机热核的光滑性效应

3．3修正方程的解的存在性

3．4主要定理的证明

3．4．1 定理3．1．2的证明

3．4．2定理3．1．3的证明

4 随机三维不可压各向异性Navier-Stokes方程的局部解和整体解

4．1 主要结果

4．2非线性项估计

4．3强解的构造

4．3．1 Galerkin逼近

4．3．2 一致估计

4．3．3修正系统的解的存在性

4．3．4 唯一性以及停时

4．3．5 u(tΛ(τ)N)在H2中的连续性

4．4 定理4．1．2的证明

4．4．1 局部强解的存在性

4．4．2 P({τ＞δ})的估计

4．4．3 P({τ=∞))的估计

5．1 主要结果

5．2 算子B的性质

5．3 紧性方法及光滑解的存在性

5．3．1 Galerkin逼近

5．3．2胎紧，紧性以及强鞅解的存在性

5．3．3唯一性及强解的存在性

5．4 Hm解的构造

5．5 线性可乘白噪情况下的整体解

6 不可压MHD方程在负阶Sobolev空间的整体弱解的几乎确定存在性

6．1 主要结果

6．2热流估计

6．3解的存在性

6．4二维的唯一性

6．5定理6．1．2的证明

7发展和展望

参考文献

简历以及已发表的学术论文