非线性偏微分方程的对称性、构造性求解问题

摘要

随着非线性科学的迅猛发展，非线性发展方程应运而生。非线性问题几乎在所有的物理分支和其他自然科学领域都得到了普遍的应用。求解偏微分方程的精确解成为科学家重要的研究课题。经过数学家和物理学家的不懈努力，提出了潘勒卫截断展开法、达布变换法、反散射方法和贝克隆变换法等便捷有效的求解方法。本文中，我们将基于符号计算，李对称群理论，使用Clarkson和Kruskal提出的并由楼森岳教授进一步完善的修正CK直接法和广义的子方程展开法研究了一些非线性方程的对称变换群与精确解。
　　全文共分为四章：
　　第一章：简要介绍了孤立子的背景和非线性偏微分方程解的若干求法，然后给出了本文的选题和主要工作。
　　第二章:介绍一些基本概念和性质.
　　第三章：简述了CK直接法，利用楼森岳教授完善的修正CK直接法寻求(3+1)维NEE的完全对称群和相似约化解，然后运用射影黎卡提方程展开法得到了这个方程的一些精确解。随后通过数值模拟给出了这些解的演化性质。
　　第四章:CRE方法是由楼森岳教授提出的构造非线性发展方程解的有效方法。将CRE方法应用到Gardner方程，给出了相容性条件，通过求解相容性方程,构造了Gardner方程的孤立波与椭圆正弦周期波的相互作用解。

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第 一 章 绪 论

§ 1 .1 研究背景和意义

§ 1 .2 本文的选题和主要工作

第二章预备知识

§ 2 .1 群的概念

§ 2 .2 对称的概念

§ 2 .3 无穷小的延拓结构,向量场

第 三 章 （3+1)维非线性偏微分方程的有限对称变换群和精确解

§3.1 引言

§3.2 ( 3+1 )维NEE的变换群与精确解

§3.2.1 ( 3+1 )维NEE的李点对称

§3.2.2 ( 3+1 )维NEE的精确解

§3.3 小结

第 四 章 CRE方法在Gardner方程中的应用

§4.1 CRE方法概述

§4.2 Gardner方程的CRE解法

§4.3 小结

参考文献

在学研究成果

致谢