几类偏微分方程的精确解及规范型研究

摘要

伴随着科学技术日新月异的发展，在数学、物理学、化学、生物学等学科领域，一方面实际问题中不断涌现出大量的非线性问题需要人们去深入研究;另一方面近几十年来的非线性微分方程问题有了巨大的发展，其丰富的理论和先进的方法日渐成熟.很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为非线性偏微分方程的研究.现实生活的许多领域内数学模型都可以用非线性微分方程来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是非线性微分方程.
　　事实上，已有许多方法被用来解决非线性偏微分方程的周期波和孤子解，如:双曲函数法、双线性算子方法、sine-cosine方法、tanh函数法等.
　　本文主要运用Jacobi椭圆函数法、齐次平衡法及多尺度分析方法研究了几类偏微分方程的精确解及规范型，全文共分为六章.
　　第一章为绪论部分.简述了偏微分方程精确解研究的现状及本文的主要工作和结构安排.
　　第二章简单介绍了本文所用的三种研究方法:Jacobi椭圆函数法、齐次平衡法及多尺度分析方法.
　　第三章运用Jacobi椭圆函数法研究了一类推广的Boussinesq方程，得到了新的周期波和孤子解，并运用Matlab对其中的一部分解进行了数值模拟.
　　第四章运用齐次平衡法分别研究了一类两维Whitham-Broer-Kaup方程和一类带弱耗散项的非线性薛定谔方程，得到了一些行波解并对部分解进行了数值模拟.
　　第五章运用多尺度方法研究了一类推广的Swiff-Hohenberg方程的规范型，并运用AUTO得到了1-同宿和2-同宿蛇形分支图.
　　第六章总结了全文的内容，并对未来进一步的研究工作进行了展望.

目录

声明

致谢

摘要

1 绪论

1．1 偏微分方程基本概况及精确解求解的研究现状

1．2 本文的主要工作及结构安排

2 本文所用的研究方法

2．1 椭圆函数法

2．2 齐次平衡法

2．3 多尺度分析法

3 雅可比椭圆函数法在Boussinesq方程方程中的应用

3．1 引言

3．2 主要结果

3．3 小结

4 齐次平衡法在偏微分方程中的运用

4．1 两维Whitham-Broer-Kaup方程一些新的精确解

4．1．1 引言

4．1．2 主要结果

4．1．3 小结

4．2 带弱耗散项的非线性薛定谔方程的一些行波解

4．2．1 引言

4．2．2 显式函数的行波解

4．2．3 小结

5 推广的Swift-Hohenberg方程的规范型研究

5．1 带耗散项的推广Swift-Hohenberg方程的局部状态

5．1．1 引言

5．1．2 带耗散项的推广Swift-Hohenberg方程的局部状态

5．1．3 规范型分析

5．1．4 1-同宿和2-同宿分支

5．1．5 小结

6 总结与展望

参考文献

简历