一维变系数对流扩散方程第三边值问题的紧有限体积格式

摘要

偏微分方程数值求解在计算数学的研究领域中占有重要地位，有限差分、有限元和有限体积是三种主要方法.有限差分法以其构造格式简单而被广泛研究和应用.在有限差分法中，高精度的紧差分格式尤以其涉及网格点少、计算精度高而成为研究热点，但第二和第三边界离散困难.有限体积方法作为偏微分方程的求解新技术，日益受到重视，该方法从微分方程的积分守恒形式出发，通过选取试探函数空间为一次或高次有限元空间来导出计算格式.由于该方法具有非常好的质量或能量守恒性质，在计算流体力学领域得到了广泛应用.
　　本文针对一维变系数对流扩散方程第三边值问题，使用有限体积离散方法，在充分吸收紧差分离散思想的基础上，构造了一类具有四阶精度的有限体积格式，系数矩阵具有三对角性质，我们称其为紧有限体积格式.该种格式不仅具有紧有限差分格式的高精度，并且对于第二和第三边界条件的处理更加容易，精度和内节点完全相容.
　　全文共分三章，第一章为引言，综述有限体积方法和紧差分方法的研究进展，并简述了本文的主要构造思想和结构框架.第二章针对一维变系数对流扩散方程第三边值问题提出了一种在均匀网格空间的紧有限体积格式，该格式形成的线性代数方程组具有三对角性质，可以使用追赶法求解.用能量估计法证明了格式按照几种常见的离散范数（如最大范数、能量范数）都具有4阶精度.数值算例验证了格式的有效性，计算表明数值收敛阶与理论分析相符合.对于一些在定义域区间内变化显著的解函数，均匀剖分的格式计算结果不是很精确，所以有必要提出非均匀剖分的计算格式.第三章讨论非均匀网格剖分情形，其格式形成的线性代数方程组也具有三对角性质，可以使用追赶法求解.同样地，仍用能量估计法证明了格式按照几种常见的范数都具有4阶精度.数值算例验证了理论分析的正确性，并说明了格式的有效性.与均匀网格相比，非均匀网格的格式应用更加灵活.

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摘要

第一章 引言

第二章 一维对流扩散方程第三边值问题的均匀网格紧有限体积格式

§2．1 均匀剖分情形格式构造

§2．2 收敛性分析

§2．3 数值算例

第三章 一维对流扩散方程第三边值问题的非均匀网格紧有限体积格式

§3．1 非均匀剖分情形格式构造

§3．2 收敛性分析

§3．3 数值算例

参考文献

致谢