无穷维HILBERT空间中分裂等式问题及其相关问题

摘要

分裂可行性问题是出现在信号处理，放射治疗和医学图像重建等现实问题中的一类重要的逆问题.设H1，H2是两个实Hilbert空间，C(c)H1，Q(c)H2是两个非空闭凸集，A:H1→H2是一个有界线性算子.分裂可行性问题可表述为:找一点x∈C使得Ax∈Q.为了解该问题，许多作者已经给出了各种各样的算法.2012年，Moudafi对分裂可行性问题进行了推广，提出了分裂等式问题.设II1,H2，H3是三个实Hilbert空间，C(c)H1，Q(c)H2是两个非空闭凸集，A:H1(→)H3，B:H2(→)H3是两个有界线性算子.分裂等式问题可表述为:找点x∈C，y∈Q使得Ax=By.显然，当H2=H3，B=I（单位算子）时，分裂等式问题就简化为分裂可行性问题.针对分裂等式问题，许多作者也已给出了相应的算法.鉴于分裂等式问题及其相关问题在现实世界中的重要应用，值得我们对其进一步研究.
　　在这篇文章中，我们主要研究了分裂等式问题的几类相关问题:
　　一，多集分裂等式问题:设H1，H2，H3是三个实Hilbert空间，{Ci}ti=1(c)H1，{Qj}rj=1(c)H2是两组非空闭凸集，A:H1(→)H3，B:H2(→)H3是两个有界线性算子，则多集分裂等式问题可表述为:找点x∈∩ti=1 Ci，y∈∩rj=1Qj使得Ax=By.并给出了相应的迭代解法有自适应步长的算法和构造方向法，算法的主要思想在于减少计算量和提高收敛速度;
　　二，分裂等式不动点问题:设H1，H2，H3是三个实Hilbert空间，T1:H1(→)H1，T2:H2(→)H2是两个非线性算子，Fix(T)，Fix(T2)分别是算子T1，T2的不动点集且Fix(T1)≠(o)，Fix（T2）≠(o)，A:H1(→)H3，B:H2(→)H3是两个有界线性算子，则分裂等式不动点问题可表述为:找点x∈Fix(T)，y∈Fix(T2)使得Ax=By.相应的迭代解法不需要相关算子的半紧性而具有强收敛性;
　　三，将分裂等式问题与变分包含问题结合的分裂等式变分包含问题:设H1，H2，H3是三个实Hilbert空间，U:H1(→)2H1，K:H2(→)2H2是两个集值极大单调算子，A:H1(→)H3，B:H2(→)H3是两个有界线性算子.则分裂等式变分包含问题可表述为:找点x∈H1，y∈H2使得0∈U(x)，0∈K(y)，Ax=By.我们给出的迭代解法强收敛到分裂等式变分包含问题的最小范数解.

目录

声明

摘要

第一章 综述

1．1 课题背景

1．2 国内外研究现状

1．3 研究内容及意义

第二章 Hilbert空间中的多集分裂等式问题

2．1 多集分裂等式问题

2．2 准备工作

2．3 迭代算法及其收敛性

2．4 数值结果

第三章 Hilbert空间中的分裂等式不动点问题

3．1 分裂等式不动点问题

3．2 准备工作

3．3 迭代算法及其收敛性

3．4 应用实例

第四章 Hilbert空间中的分裂等式变分包含问题

4．1 分裂等式变分包含问题

4．2 准备工作

4．3 迭代算法及其收敛性

4．4 应用实例

第五章 结论与展望

参考文献

发表论文情况

致谢