泊松白噪声激励下的随机时滞系统的数值解及应用研究

摘要

随机时滞系统主要是用随机延迟微分方程来描述的,目前随机延迟微分方程已经广泛地应用在经济学、物理学、生物学等各个领域中。然而一般情况下,很难求出它的解析解,因此研究随机延迟微分方程的数值解法既有理论意义又有广泛的应用价值。
　　 近几年来,虽然也有不少学者研究了随机常延迟微分方程及其数值解法,也取得了一些成果,但对于带跳跃的随机延迟微分方程、随机延迟积分微分方程和跳跃的中立型随机延迟微分方程的研究却刚刚开始,还未见成果报导。因此,本文分别对这三种不同类型的随机延迟微分方程的数值方法及收敛性与均方稳定性进行了深入地研究,并具体应用到生物学领域中,取得的成果如下:
　　 1.将泊松白噪声加入到随机延迟微分方程中,得到了一种带跳跃的随机延迟微分方程,首先给出该类方程数值解均方稳定性的定义,然后研究了该类方程的Euler-Maruyama数值解的均方稳定性,并研究了该方法得到的数值解均方稳定性的充分条件,最后通过数值实验验证该理论结果的正确性。
　　 2.考虑带有分布式延迟项的线性随机延迟积分微分方程,将分步向后欧拉法用于具有一般性的线性随机延迟积分微分方程中,研究了该方法得到的数值解的收敛性和均方稳定性,并证明了该数值解收敛于解析解的阶为1/2,同时还得到了当方程的解析解渐近均方稳定时,该数值法得到的数值解保持均方稳定性的充分条件,最后,通过数值试验说明了该方法的有效性和正确性。
　　 3.将泊松白噪声加入中立型随机泛函微分方程中,得到了一类带跳跃的中立型随机泛函微分方程,首先研究了其解的存在唯一性定理,然后研究了一类带跳跃的中立型随机延迟微分方程的Euler-Maruyama数值方法的收敛性,最后证明了Euler-Maruyama法得到的数值解在局部Lipchitz条件下收敛于解析解,并且收敛阶为1/2。
　　 4.将带跳跃的随机延迟微分方程和随机延迟积分微分方程应用到生物种群动力学中,利用本文提出的数值方法对生物种群系统的响应进行了数值模拟,结果发现了生物种群的稳定性和Hopf分岔点。

目录

文摘

英文文摘

第一章 绪论

1.1 研究背景

1.1.1 时滞现象

1.1.2 随机干扰现象

1.2 国内外研究现状

1.2.1 随机延迟微分方程的理论研究

1.2.2 随机延迟微分方程的数值方法研究

1.3 本文主要工作

第二章 预备知识

2.1 概率论和随机过程

2.2 随机微分方程

2.3 泊松白噪声及其数值模拟

第三章 带跳跃的随机延迟微分方程的数值解

3.1 引言

3.2 带跳跃随机延迟微分方程

3.3 带跳跃随机延迟微分方程的数值解

3.4 数值解的均方稳定性

3.5 数值算例

3.6 带跳跃随机延迟微分方程在生物学中的应用

3.7 本章小结

第四章 随机延迟积分微分方程的数值解

4.1 引言

4.2 预备知识

4.3 数值解的收敛性

4.4 数值解的均方稳定性

4.5 数值算例

4.6 随机延迟积分微分方程在生物学中的应用

4.7 本章小结

第五章 带跳跃的中立型随机延迟微分方程的数值解

5.1 引言

5.2 带跳跃的中立型随机泛函微分方程

5.3 带跳跃的中立型随机延迟微分方程数值解

5.4 数值解的收敛性

5.5 本章小结

第六章 总结与展望

6.1 全文总结

6.2 研究展望

参考文献

发表论文和参加科研情况说明

致谢