对称锥和齐次锥上非单调互补问题的理论和算法

摘要

对称锥互补问题是通常意义下的互补问题，二阶锥互补问题和半定互补问题的推广，它内容新，涵盖面宽，理论丰富，学术价值高且有广泛应用背景，自从上世纪九十年代以来，已经成为国际上相当活跃的研究热点.齐次锥互补问题作为对称锥互补问题一个自然的推广，也已经引起众多优化学者和专家的广泛兴趣和高度重视.本文主要利用欧氏若当代数和T-代数技术，针对非单调的对称锥和齐次锥互补问题，从理论和算法两个方面进行研究。
　　 首先，在求解非单调对称锥互补问题的算法方面，本文做了以下两个工作：首次应用光滑牛顿算法求解两类非单调对称锥互补问题-CartesianP*(κ)-对称锥线性互补问题(Cartesian P*(κ)-SCLCP)和Cartesian P0-对称锥线性互补问题(Cartesian P0-SCLCP).对于Cartesian P*(κ)-SCLCP，在解集非空的假设下，证明光滑牛顿算法全局收敛，在一个新的假设下，证明了这个算法全局线性收敛，这个收敛性结果，即使是在Rn空间上，也是一个新的结果.对于Cartesian P0-SCLCP，借助欧氏若当代数技术，证明了光滑牛顿算法中牛顿方程可解以及变换H(μ，x，s)关于(x，s)强制，从而保证了算法适定和全局收敛，在弱的假设条件下，我们还证明了算法局部二次收敛。
　　 其次，基于Tao和Gowda引入的欧氏若当代数上的松弛变换Rφ，本文讨论了Rφ和φ的性质之间的对应关系，建立了一系列充要条件，为进一步研究非单调对称锥互补问题提供了一定的理论基础.文中讨论的性质包括连续性，(局部)Lipschitz连续性，方向可微性，(连续)可微性，半光滑性，单调性，强单调性，P0-性质，一致P-性质等。
　　 最后，针对定义在T-代数上的非线性变换，本文引入了各种ω-P性质(如orderω-P性质，Jordanω-P性质等)以及ω-唯一性，利用T-代数这个理论工具，研究了这些ω-P性质之间以及它们和ω-唯一性之间的关系，并讨论了两个特殊的变换：松弛变换和自伴线性变换，最后给出了齐次锥互补问题存在有限ω-解的一些条件。