热核方法在量子场论和统计物理中的应用

摘要

热核方法是现代数学和物理众多领域中的重要方法。该方法是一种从算子的谱（求和）函数中提取算子本身及算子所处背景的信息的方法。由于热核相比其他谱函数具有计算简单，解析性质良好等特点，因此热核方法在近数十年中极大的推动了数学和物理的发展。本文首先详尽介绍了热核方法中的重要结论，然后利用热核方法研究了目前存在于量子场论和统计物理中的若干问题。
　　在量子场论方面，本文首先得到了热核与散射相移的联系，然后利用这些联系建立了热核方法与散射谱方法（量子场论中的另一种重要方法）在计算单圈量子修正问题上的直接关系：本文证明了这两种方法不仅在计算形式上等价，而且它们的重整化方案都可以纳入标准的Feynman图重整化方案之中。另外，利用散射相移的低能展开以及热核与散射相移的联系，本文首次获得了热核的长时近似，发现其正比于s波散射长度；利用热核的短时展开以及散射相移与热核的联系，本文还得到了相移的高能展开序列，并将各阶展开式的系数用热核系数进行了表示。
　　在统计物理方面，本文首先从第一原理出发给出了受限空间中的理想量子气体在边界上压强分布的表达式，并利用方盒子这一可精确求解的模型讨论了压强在边界上的分布：压强在盒子的表面上呈中间大两端小的分布，并在拐角处为零；不同统计的气体在各点的压强分布相似，各点压强的大小满足pFermi>pclassical>pBose。进一步的，本文讨论了压强分布与热力学广义力的关系，发现热力学的形变广义力是边界压强分布针对形状以及具体形变的组合。最后，利用有边界修正的量子统计巨势，本文认为理想气体会使一个浸在其中的不可压缩的物体的总表面积减小：例如这种力会使两个相互接触的表面相互粘合，也会使一个条状物体自发卷曲，该力还会使浸在理想气体中的一个内外连通的容器压缩。

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第一章 绪论

1.1热核的定义，热核方法概述

1.2精确可解的热核

1.3热核的微扰展开

1.4热核的短时（t ? 0）展开

1.5论文内容安排

第二章 热核与其他谱函数的联系

2.1热核与传播子的关系

2.2热核与Green函数关系：Lippmann-Schiwinger方程与DeWitt迭代方程

2.3热核与谱zeta函数和有效作用量的关系

2.4热核与计数函数的关系

第三章 热核在量子场论中的应用：热核方法与散射谱方法的联

3.1分波谱函数和总相移定义

3.2热核和相移：关系和例子

3.3热核的长时（t ? ?）近似

3.4相移的高能展开：用热核系数表示相移的展开

3.5谱zeta函数与谱求和规则

3.6热核方法和散射谱方法的联系

第四章 热核在统计物理中的应用：受限理想气体的压强

4.1用热核系数表示经典统计配分函数，量子统计巨势和密度分布

4.2受限空间中理想气体的压强

第五章：总结与展望

附录A：Mellin变换

附录B：一种求热核展开系数的方法

参考文献

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