张量的行列式和特征多项式

摘要

高阶张量是矩阵的高阶推广，关于张量的行列式和特征多项式的研宄已成为应用数学和数值多重线性代数领域的重要课题.近几年，在研宄固体力学中的强椭圆型条件和量子力学中的纠缠问题时又引入了矩形张量.本文根据结式的特殊性质，对方形张量的行列式和矩形张量的E-特征多项式作了进一步的研宄.主要结论：
　　定理3.1设A为m阶n维张量，i,j∈{1,..., n},互换第i和j模-1纤维的所有元素，得到一个新张量记为A',即
　　公式：（此处公式省略）
　　这里A1'i和Ai分别指A'和A的子张量, i∈{1,...,n}.则
　　公式：（此处公式省略）
　　定理3.2设A∈T(Cn,m),对于固定的指标i∈{1,...,n},如果置换第一个指标上所有模-1纤维的第i个元素的其余m-1个指标，即置换A的子张量人元素的除了指标i的所有指标，则A的行列式不变.
　　定理4.2设p,q≧3,A是实的(p,q)阶(m×n)维的矩形张量.若A是正则的，则对于任意的j=1,...,n, E-特征多项式фfj(λ)的根是A的E-奇异值.

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第一章 前言

§ 1 .1研究背景与现状

§ 1 .2论文结构及主要内容

第二章预备知识

§ 2 .1方形张量的定义及性质

§ 2 .2结式与张量行列式的定义及性质

§ 2 .3矩形张量的定义及E-奇异值

第三章方形张量的行列式和特征值

§ 3 .1方形张量行列式的基本性质

§ 3 .2三阶张量

§ 3 .3模一p内积

§ 3 .4方形张量的特征值和特征多项式

第四章矩形张量的特征多项式

§ 4 .1实的矩形张量的E-特征多项式

§ 4 .2最佳秩- 1逼近

第五章结束语

参考文献

攻读硕士期间所发表论文

致谢