关于保持距离映射的Aleksandrov问题

摘要

1970年，A.D.Aleksandrov提出:若f为定义在两个距离空间中的保持某一个距尚的映射，那么f是否为一个等距映射？这就是所谓的Aleksandrov问题.Aleksan-drov问题被许多数学工作者广泛地研究，现虽已得到了一些漂亮的结果，但仍然有许多问题尚待解决.在本文中，主要用分析的方法在准凸赋范空间，Hilbert空间，Rn空间中研究Aleksandrov问题，得出了一些有意义的结论，从而部分回答了该问题.
　　将本文分为四章：
　　第一章简要介绍了Aleksandrov问题的研究背景，研究现状和本文结果概要;
　　第二章介绍准凸赋范线性空间，Hilbert空间，Rn空间的基本概念和和映射f具有的性质，如映射f满足(DOPP),满足(DnPP),保共线性质等等.
　　第三章介绍关于Aleksandrov问题的结论，此章节分三个部分，在第一部分中，主要研究准凸赋范线性空间中的Aleksandrov问题，主要结果为：
　　1.设X和Y是准凸赋范线性空间，如果f:X→Y具有保共线的性质，且满足下列条件：
　　(i)‖x-y‖≤1,则‖f(x)-f(y)‖≤‖x-y‖;(ii)‖x-y‖≥no,则‖f(x)-f(y)‖≥no.
　　则f是一个仿射等距映射.
　　2.设X和Y是准凸2-赋范线性空间，若f:X→Y具有（GAOPP)且对任意 x,z,p,q∈X,若‖x-z,p-q‖≤1,有‖f(x)-f(z),f(p)-f(q)‖≤‖x-z,p-q‖,则f是一个广义2-等距仿射。
　　3.设X和Y是准凸2-赋范线性空间，映射:X→Y,若f保GAOPP,正同胚，f保共线，则f是一个广义2-等距映射.
　　4.设X和Y是准凸2-赋范线性空间.假设:X→Y是一个仿射且满足对X中任意元素x,y,z当‖x-y,x-z‖<1,有‖f(x)-f(y),f(x)-f(z)‖=‖x-y,x-z‖,则f是一个2-等距映射.
　　第二部分 主要研究Hibert空间中的Aleksandrov问题，主要结果为：
　　1.设X和Y是希尔伯特空间，X的维数大于1,如果f:X→Y保两个距离1和如√(n2-3/8)+√(m2-3/8),则f是一个仿射等距.
　　2.设X和Y是希尔伯特空间，X的维数大于1,如果f:X→Y保两个距离1和^n2-§+^m2-§,则f是一个等距仿射.
　　第三部分 主要研究空间中的问题，主要结果为：
　　假设 f：Rn-l→Rn保两个距离1和(√(k2-x2n-2)+√(m2-x2n-2),则f是一个仿射等距.(xn-2=(∑n-1i=2(-1)i(n-i)2)/(n-1)2)。

目录

封面

声明

中文摘要

英文摘要

目录

第一章　前言

§ 1 .1 研究背景与现状

§ 1 .2 研究的主要结果

第二章预备知识

§ 2 .1 基本知识

第三章 Aleksandrov

§3.1 准凸赋范线性空间中的Aleksandrov问题

§3.2 Hibert空间中的AZefcsandrcw问题

§3.3Rn空间中的Aleksandrov问题

第四章　结束语

参考文献

攻读硕士期间所发表论文

致谢