李群酉表示的Dirac上同调及相关几何问题

摘要

李群的无限维表示及其相关课题的研究是数学的最活跃的领域之一。1997年，DavidVogan提出一个新的工具：Dirac上同调，并希望藉此能推动表示论的近一步研究。本文的前一部分正是对Dirac上同调的研究。论文的最后一章是李群在Einstein流形上的应用。在简介中，我们首先回顾了表示理论的发展现状，解释了我们问题的背景，我简要介绍了我们的研究结果。在第一章中，我们首先简要的介绍了严志达院士关于实半单李代数分类的一些结果，然后我们回顾了表示理论的一些基本概念和结论。最后我们简单介绍了李代数上同调和相对上同调的概念。在第二章中，我们首先介绍了Dirac上同调的定义和背景，然后我们给出了一些关于Weyl群的知识，最后我们计算出有限维表示和Aq(λ)模的Dirac上同调。在第三章中，我们首先介绍了由Kostant定义的更一般的cubic Dirac上同调，并研究了其与李代数n上同调的一些关系。最后我们利用[HPR]中的一个公式给出了关于Aq(λ)模的cubic Dirac上同调。在最后一章中，我们研究了一类齐性Einstein流形。首先我们介绍了Einstein流形的定义和历史，然后我们利用李群李代数作为工具给出了一类齐性流形上存在齐性Einstein度量的充要条件。

目录

文摘

英文文摘

Acknowledgements

Introduction

Chapter1 Preliminaries

1.1 Notation

1.2 Classification of Real Simple Lie Algebras: Yen's Results

1.3 Representation Theory of Real Reductive Groups

1.4 Relative Lie Algebra Cohomology and u-Cohomology

1.4.1 Relative Lie Algebra Cohomology

1.4.2 u-cohomology and u- homology

1.5 Clifford Algebras and Spinors

Chapter2 Dirac Cohomology of Harish-Chandra Module

2.1 Dirac operators and Dirac cohomology

2.2 Restrict Root System and Weyl Group

2.3 Dirac Cohomology of Finite Dimensional Representations

2.4 Dirac Cohomology of Aq(λ) Module

2.5 The description of multiplet

Chapter3 Cubic Dirac Cohomology and Lie Algebra Cohomology

3.1 Introduction: Cubic Dirac Cohomology

3.2 Cubic Dirac Cohomology and Lie Algebra Cohomology

3.3 The cubic Dirac cohomology of Aq(λ) modules

Chapter4 General Homogeneous Einstein Manifolds

4.1 Introduction

4.2 Geometric Structure

4.3 Some Examples on SU(n + 1)

Bibliography