Navier-Stokes方程的自适应迎风有限元方法

摘要

Navier-Stokes方程是流体力学的基本方程，它在气象学、海洋学、生命科学、地球物理等涉及流体运动的各学科中有着广泛的应用。此外，由物理、化学等学科提出的模拟燃烧、爆炸、湍流、多相流、复杂流体及弱可压流体也均基于N-S方程。因此，研究N-S方程的数值模拟，对各种流体现象的科学探知和相关实践有着重要的意义和影响。 由于Navier-Stokes方程为一个非线性的鞍点问题，在高Reynolds数流情形下，标准Galerkin有限元方法会导致伪数值振荡。迎风有限元方法，因其在算法结构上表征了流体“上游”决定“下游”的流动性态，使得它能够有效地消除对流占优-扩散奇异摄动问题的非物理振荡。鉴于N-S方程高Reynolds流具有对流占优的性质，考虑N-S方程的迎风有限元方法是自然而适当的选择。 然而，迎风方法的数值模拟一般只具有一阶精度，为了提高计算精度并且保持迎风方法计算的稳定性，一种可行的途径是研究迎风方法的自适应算法，藉以自动识别解函数的局部奇异区域，对其采用更高精度的逼近，以达到整体求解精度的提高。 后验误差估计，即利用数值解对真实误差作出的估计，能够根据误差估计结果判断出解函数的局部奇异区域，因此后验误差估计是进行自适应计算的基础。本文在第二章和第三章分别对定常和非定常N-S方程的后验误差估计进行了研究，第四章的数值算例验证了估计器的有效性和构造的自适应算法的高效性。 本文的主要结果如下： (1)对于定常不可压N-S方程，提出了一种基于对偶剖分的迎风有限元格式，证明了此种迎风格式解的存在唯一性。在一种新的度量方式之下，给出了真实误差的后验误差估计。通过求解每一个形函数支集上的局部边值问题，解决了抽象误差估计器的计算问题。 (2)对于非定常不可压N-S方程的全离散迎风有限元格式进行了研究，讨论了该格式的唯一可解性和稳定性估计，借助于时间半离散格式，分别对时间方向和空间方向做出了后验误差估计，估计器给出了数值解与真解之误差的整体上界和局部下界。 (3)对定常不可压N-S方程的迎风有限元之后验误差估计及自适应算法，进行了题例众多的数值实验与测试性研究。首先对具有精确解的题例作了数值模拟，考察了定常N-S方程迎风方法的后验误差估计器的实用效率，验证了定常迎风格式所具有的一阶精度性能。其次构造了定常N-S方程的自适应算法，通过在规则区域上采用保持弱锐剖分的网格加密策略和不规则区域上采用自动生成自适应网格的方法，对方腔流动和圆柱绕流模型问题分别采用迎风方法、迎风自适应方法进行了计算，对计算的结果作了比较性的研究。此外，对于圆柱绕流问题中的兴趣量如拉力系数和升力系数的计算，也给出了后验的计算方法。

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第一章概述

1.1问题的研究背景

1.1.1 N-S方程及其初边值条件

1.1.2 N-S方程直接数值模拟的困难

1.2 N-S方程有限元方法的直接数值模拟简述

1.2.1 LBB条件和有限元空间

1.2.2求解N-S方程的稳定化方法—SD方法

1.2.3间断Galerkin方法

1.2.4罚函数方法

1.2.5投影方法

1.2.6无散有限元方法

1.3迎风有限元方法

1.3.1迎风三角形有限元方法

1.3.2基于对偶剖分的有限元—有限体积迎风方法

1.4后验误差估计和网格加密技巧

1.4.1网格自适应的基础—后验误差估计方法简述

1.4.2网格加密和粗化策略

1.5构造自适应有限元算法的两种基本方法

1.5.1基于后验误差估计的自适应方法

1.5.2移动网格自适应方法

1.6本文的基本框架和主要结果

第二章定常N-S方程的迎风有限元后验误差估计

2.1 Sobolev空间若干记号

2.2对偶剖分与有限元空间

2.3定常N-S方程的迎风有限元离散格式

2.3.1迎风有限元格式

2.3.2迎风格式解的存在唯一性和收敛性

2.4 N-S方程迎风格式的后验误差估计

2.5抽象误差估计器的计算方法和上下界估计

第三章非定常N-S方程迎风有限元后验误差估计

3.1一些记号和引理

3.2非定常N-S方程的迎风全离散格式

3.3时间方向的后验误差估计

3.4空间方向的后验误差估计

3.5全离散迎风有限元格式的后验误差估计

第四章自适应算法与数值实验

4.1后验误差估计器的效率

4.2 N-S方程的自适应算法

4.2.1两个模型问题简介

4.2.2自适应算法的构造

4.3数值实验

4.3.1方腔流动问题的数值算例

4.3.2圆柱绕流问题的数值算例

结束语

参考文献

致谢

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