从Fisher(1921)算起，现代试验设计理论已历近百年，鉴于因析设计在理、工、农、医等各方面的广泛应用，对因析设计的研究成为现代试验设计理论的重要组成之一。实际工作中，人们总希望在费用一定的情况下使用更“好”的设计以获取更多的信息，从而令最终的推断更为准确。这就涉及到最优性的界定，即最优准则的制定。 依据效应别名结构的复杂程度，因析设计可归为正规设计和非正规设计两大类。对于正规设计，代表性的准则有最大分辨度(Maximum Resolution，MR)、最小低阶混杂(Minimum Aberration，MA)、纯净效应(Clear Effects，CE)和最大估计能力(Maximum Estimation Capacity，MEC)等。Zhang，Li，Zhao et al.(2008)基于效应排序原则提出了混杂效应个数型(Aliased Effect-Number Pattern，AENP)并且证明了上述的任一准则均可表为AENP的函数。通过依次最大化AENP中元素获取最优设计的准则称为一般最小低阶混杂(General Minimum LowerOrder Confounding，GMC)准则。GMC准则下的最优设计称为GMC设计。满足2n-m-2+1≤n≤2n-m-1的全体二水平正规设计已由Li，Zhao，and Zhang(2011)，Zhang and Cheng(2010)和Cheng and Zhang(2010)通过数学方法构造了出来而无须借助计算机进行搜索。 相比正规设计，非正规设计放弃了简单的别名结构以换取试验次数上的灵活性；在试验次数受限或对试验成本较为敏感的时候，这样的变化显然更受欢迎。Deng and Tang(1999)将分辨度(Resolution)的概念推广到了两水平的非正规设计，并定义了最小G-混杂(Minimum G-Aberration)准则。同年，他们又提出了该准则的一个宽松的版本，即最小G2-混杂(Minimum G2-Aberration)准则。Ma and Fang(2001)定义了适用于多水平非正规设计的广义字长型(GeneralizedWordlength Pattern，G-WLP)以及与之相对应的最小广义低阶混杂(MiumumGeneralized Aberration，MGA)准则。作为最小G2-混杂准则和MGA准则的推广，Xu and Wu(2001)的广义最小低阶混杂(Generalized Minimum Aberration，GMA)准则可对所有的因析设计进行评价。为了简化GMA准则的计算，Xu(2003)引入了与GMA准则弱等价的最小低阶矩混杂(Minimum Moment Aberration，MMA)准则。这是Xu(2002)中J2准则的一个推广。与前述那些准则不同的是，MMA准则并不关注设计矩阵的列相关性，而是以各行之间的Hamming距离为基础。这样的改变使得计算量大为减少。GMA和MMA之间精确的关系式已经由Pang(2011)和Pang and Liu(2012)给出，此外，Hickernell and Liu(2002)从均匀性的观点提出了最小投影均匀性(Minimum Projection Uniformity，MPU)准则并证明其与GMA等价。 超饱和设计是一类特殊的非正规因析设计，常被用于筛选因子。早期的用于评价超饱和设计的准则是E(s2)，不过由于它直接求取任意两列的内积，所以仅适用于二水平的情况。Yamada and Lin(1999)利用列联表检验中的X2统计量定义了平均X2(Average X2)准则。Yamada and Matsui(2002)的X2(D)准则和Fang，Lin，and Liu(2003)的E(fNOD)准则都是平均X2准则的推广，只是在加权平均时前者给不同水平数的因子以不同的权重而后者没有这么做。Liu，Fang，and Hickernell(2006)将只能度量两因子间非正交性的X2(D)准则升级为能够度量任意t因子间的非正交性的最小X2(Minimum X2)准则，它和GMA准则之间的等价性已经被Pang(2011)和Pang and Liu(2012)所证明。 本文旨在将Zhang，Li，Zhao et al.(2008)的AENP和GMC准则由二水平正规设计推广到一般的因析设计之中。 第1章简要地介绍了一些背景和符号。 第2章利用正规化的对照向量将因子效应分解为一些单自由度的成分并以此建立ANOVA模型。然后在模型的基础上定义任两个因子效应间的混杂程度并从估计的角度解释定义的合理性。需要注意的是，Cheng and Zhang(2008)定义的混杂程度更多地体现成分间的相关系数，而本文所定义的则力图反映出因子效应间的混杂。一个重要的标志是，本文中的混杂程度与对照向量的选取无关。 第3章定义了G2-AENP以及G2-GMC准则，证明了G2-AENP和G2-GMC分别是AENP和GMC的推广，并且证明了同构的设计有着相同的G2-AENP。 第4章讨论G2-AENP与现有的其他准则的关系。首先，在特定条件下，G2-AENP可表为Cheng and Zhang(2008)的G-AENP中某些元素的加和。但更多的时候G2-AENP并不由G-AENP所决定。其次，在二水平因析设计中，Deng and Tang(1999)的最小G-混杂准则的核心--混杂频率向量(ConfoundingFrequency Vector，CFV)完全等价于G2-AENP的一部分。再次，作为GMA准则的基础，G-WLP是G2-AENP的函数。考虑到MPU和最小X2都与GMA准则等价，E(S2)、平均X2、X2(D)和MGA准则又都是GMA准则的特例，故E(s2)、平均X2、X2(D)、MGA和MPU这些准则分别可以由G2-AENP的某些函数等价地表示。最后，MMA准则中的任意t阶矩都是G2-AENP的函数。J2(D)和E(fNOD)也被证明可由G2-AENP决定。 第5章展示了G2-GMC相较GMA和MMA而言更为强大的分类能力并给出了OA(18，37)和非正交的(18，6137)的G2-GMC子设计。 第6章在总结文章主要结论的同时指出了G2-AENP在计算上耗时过长的问题。
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