基于Dirichlet过程的非参数贝叶斯分析

摘要

统计问题中，贝叶斯方法在很多方面已经硕果累累，不过在处理非参数方面却仍存在很大的差距，这主要是由于很难在参数空间上找到有效的先验分布，具体到非参数问题就是在给定样本空间取一个概率分布集。 基于Ferguson的观点，在非参数问题中，对先验分布有两方面的要求： (1) 样本空间中，相对于概率分布空间上的某些适当的(弱)拓扑，先验分布必须有足够大的支撑。这就保证了先验选择的灵活性与广泛性，以便于找到最适合模型的分布函数。 (2) 在真概率分布中，给定样本观测值时的后验分布必须易于分析。这就要求后验与先验形式的相同，或者是共轭类，或者能比较容易的计算，从而保证在实际中的应用价值。 然而这两个要求是相悖的。我们通常的处理方法是通过放宽第一个条件，而将第二个条件设置为共轭类来构造分布类。 参看最近几十年的文章，我们可以发现，应用最多的处理非参数贝叶斯问题的方法是沿用Ferguson1973年构造的Dirichlet过程的第二个定义的思想，对各个参数进行扩充，将条件加强或者减弱。其中最受上述思路影响的是Jayaram Sethuraman1994年的文章，他通过对各个参数加以特殊化，将Ferguson的第二个定义推广为无序排列。但由于他们是在n取1到∞间考虑的，所受的限制也相对较大。因此我们考虑当所取的n的区间变化时，即若把区间上限看作随机变量时，是否仍有相同或相似的结论成立呢?这是肯定的。这就是下面我将要在论文中讨论研究的问题。 本文在Jayaram Sethuraman1994年文章的基础上，主要做了以下几方面的工作： (1) 给出了简单Dirichlet过程的构造性定义，说明了在其构造下是非参数的先验分布类，并证明它是满足上述两点要求的。 (2) 讨论了简单Dirichlet过程的性质，并给出了在可测剖分下它的有限阶原点距，方差，协方差等数字特征。 (3) 讨论了它的支撑问题，证明它的支撑是足够大的。 (4) 求出了在该先验类下其后验的具体表达形式。

目录

文摘

英文文摘

第1章绪论

1.1 Bayes统计的起源、发展和应用

1.1.1 Bayes统计的起源和发展

1.1.2 Bayes学派的观点

1.1.3 Bayes统计的应用

1.2本文产生的背景及具体工作介绍

第2章Dirichlet分布

2.1成分

2.2 Dirichlet分布

2.2.1定义

2.2.2 Dirichlet分布的导出

2.2.3 Dirichlet分布的标准定义

2.2.4 Dirichlet分布的各阶矩

2.3 Dirichlet分布的性质

第3章基于Dirichlet过程的非参数贝叶斯分析

3.1背景介绍

3.2 Dirichlet过程

3.2.1准备知识

3.2.2 Dirichlet过程的定义

3.2.3 Dirichlet过程的一个等价定义

3.3右中立过程

第4章简单Dirichlet过程的定义及其基本性质

4.1背景介绍

4.2简单Dirichlet过程的定义

4.3简单Dirichlet过程的性质

第5章简单Dirichlet过程的后验分布

5.1准备知识

5.2扩展类的性质及其后验分布

5.3简单Dirichlet过程的后验分布

结论与展望

参考文献

攻读学位期间的研究成果

致谢