格蕴涵代数及其乘积结构研究

摘要

格蕴涵代数是格值命题逻辑与格值一阶逻辑的一类真值域。基于已有的研究工作，本文主要探讨了格蕴涵代数的对偶性、对偶原子、由布尔元生成的滤子，乘积格蕴涵代数，完善了格蕴涵代数的相关结论。本文取得的主要成果如下：
　　1.给出了格蕴涵代数的对偶原理，并通过一些对偶概念、定理展示了对偶过程的操作细节；
　　2.完善了文献[37]、[39]中的相关结论，得到：
　　(1)在文献[39]中，结论“设a为格蕴涵代数L的唯一对偶原子，ord(a)=p(有限)并且A={an｜n=0，1，…，p｝。若b→x=b→y((A)x，b∈A，y∈L)，则x=y”并不成立。
　　(2)若a为有限格蕴涵代数L唯一的对偶原子且ord(a)=p(有限)，则
　　(3)若a为有限格蕴涵代数L唯一的对偶原子且ord(a)=p(有限)，则L≌L(p)”。
　　3.得到了对偶原子的一些性质，如：有限格蕴涵代数是链的充分必要条件为tnt=O对于该格蕴涵代数中的任意对偶原子t都成立，其中ord(t)=nt(有限)；在乘积格蕴涵代数L1×L2中，Dat(L1×L2)={(a1，a2)∣a1=I1，a2∈Dat(L2)；a1∈Dat(L1)，a2=I2}，其中Dat(L)是格蕴涵代数L中对偶原子的集合；
　　4.得到了由布尔元生成的滤子的两种等价表示形式，即“如果x是格蕴涵代数L=(L，∨，∧，′，→，O，I)的一个布尔元，则[x)={y∣y≥x，y∈L}={w∣a→x=w，a∈L}”；此外，给出了乘积格蕴涵代数L1×L2中的布尔元与分量格蕴涵代数L1，L2中布尔元之间的关系，即B(L1×L2)={x1，x2)∣x1∈B(L1)，x2∈B(L2)}，其中B(L)是格蕴涵代数L中布尔元的集合；
　　5.得到了乘积格蕴涵代数L1×L2中各类滤子(包括关联滤子、真滤、素滤、超滤、固执滤子、Ⅰ-滤、对合滤子、扩张滤子、弱滤子等)与分量格蕴涵代数L1、L2中同类滤子之间的关系，并将结论推广到了任意有限个格蕴涵代数的乘积结构L1×L2×…×Ln中，特殊化到任意两个有限链的乘积结构Lm×Ln上。之后，展示了上述理论的应用：
　　(1)得到了L6，L8，L9的所有非链型结构及各结构所对应的上述种类的滤子；
　　(2)分别在二维和三维有限格蕴涵代数(即Lm×Ln和Lm×Ln×Lk)的Hasse图中，展示其非平凡滤子的位置；
　　(3)得到Lm(1)是格H蕴涵代数。