带双乘性白噪声随机Boussinesq方程组吸收子的存在性及其Hausdorff维数估计

摘要

本文主要针对速度方程和温度方程同时受到乘性白噪声干扰的二维随机Boussinesq方程组，研究该方程组在有界区域和无界区域上随机吸引子的存在性。用Hausdorff维数刻画随机吸引子的复杂度，并给出了维数的估计。
　　全文分为五章:
　　第一章，介绍了Boussinesq方程组的研究背景，国内外的研究现状，引出了本文的主要工作。
　　第二章，罗列出了本文所需的随机动力系统的基础知识和常用的不等式。
　　第三章，主要考虑在有界区域上带双乘性白噪声Boussinesq方程组的长时间行为。引入随机过程，消去随机微分项，得到不带有白噪声的随机微分方程。证明所得新方程组整体解的存在唯一性，并且刻画了该方程组的解所决定的一个随机动力系统。进而证明该动力系统拥有随机吸收集且是渐近紧的，从而得到随机吸引子的存在性。
　　第四章，为了刻画随机吸引子的复杂度，需要估计了它的Hausdorff维数。在本章中，根据可微性的定义，证明随机动力系统在随机吸引子上是可微的，再验证满足Hausdorff维数的条件，从而证明随机吸引子的Hausdorff维数是有限的，并给出了一个上界估计。
　　第五章，本章进一步研究带双乘性白噪声Boussinesq方程组在无界区域上吸引子的存在性。由于区域的无界性，Sobolev紧嵌入定理不成立，这给证明随机动力系统的渐近紧性带来了困难。为了克服该困难，本章引用了“tail-estimates”技术来处理，简单地说，是把平面分为两部分:R2={Br={x∈R2:|x|≤r}}∪{R2\Br}只需证明:
　　(1)随机动力系统在H（Br）中是渐近紧的。
　　(2)随机动力系统在H（R2\Br）中是一致小的。
　　这里的H(·)是后面所定义的函数空间。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 研究背景及意义

1．2 研究现状及主要研究工作

第2章 预备知识

2．1 基本概念

2．3 常用的不等式

第3章 有界区域随机Boussinesq方程组的吸引子

3．1 引言

3．2 随机Boussinesq方程组整体解的存在唯一性

3．2．1 先验估计

3．2．2 整体解的存在唯一性

3．3 随机Boussinesq方程组整体解决定的动力系统

3．4 有界区域上随机吸引子的存在性

第4章 随机吸引子的Hausdorff维数估计

4．1 引言

4．2 随机动力系统的可微性

4．3 随机吸引子Hausdorff维数的上界估计

第5章 无界区域随机Boussinesq方程组吸引子的存在性

5．1 引言

5．2 随机动力系统的渐近紧性

5．3 随机吸引子的存在性

总结与展望

致谢

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文及科研成果