分数阶复杂动力学网络同步的自适应控制若干问题研究

摘要

近年来，复杂网络由于其广阔的应用前景已经引起了数学、物理学、系统科学、控制科学以及非线性科学等领域的国内外学者的广泛关注和普遍参与。一方面，节点之间的耦合增加了网络群体行为的复杂性，这也激发了人们对复杂网络动力学过程的建模、分析和预测研究的兴趣。另一方面，人们也可以借助节点之间的耦合来定性调控或精确控制网络的动力学过程，例如利用一些节点的外部输入信号将每个节点的状态控制到所期望的目标态。其中，作为一种典型而重要的群体动力学行为，复杂动力学网络同步由于其在混沌保密通信、智能电网、神经网络和机器人编队等领域的潜在应用而成为当前国际上的研究热点。
　　目前，有关网络同步的研究大多集中在整数阶实变量动力学网络，而对于分数阶实变量或复变量网络的研究尚处于起步阶段，值得深入的研究。特别地，自适应控制在解决整数阶实变量或复变量动力学网络的同步控制问题中，已经取得了巨大的研究进展和丰硕的成果。然而，在将其扩展到分数阶的情形时，存在诸多困难和挑战，例如，由于分数阶微积分的弱奇异性，基于Lyapunov的自适应同步分析方法不再适用于分数阶动力学网络，这也是分数阶自适应控制研究的“瓶颈”所在。本文将借助分数阶Lyapunov函数法及其它分数阶技术，深入研究分数阶自适应控制技术，为实现几类分数阶动力学网络的同步提供有效的解决方案，具体研究工作概括如下:
　　(1)研究了一类线性和非线性部分可分离的分数阶时变动力学系统的稳定性及同步控制问题。利用一个新的分数阶不等式来估计二次Lyapunov函数的Caputo导数，获得了若干判断系统全局稳定的充分准则，并设计线性状态反馈控制器和反馈增益的分数阶自适应更新规则实现了该系统的镇定。再者，利用自适应耦合的方法，获得了实现两个分数阶时变系统同步的充分准则，为本文后续分数阶动力学网络的自适应同步研究奠定了重要的理论基础。数值仿真实验验证了所设计的镇定控制器和同步控制器的有效性及理论分析的正确性。
　　(2)研究了两个相互依赖网络之间的同步控制问题。首先给出了一类具有不同拓扑结构和不同节点动力学行为的两个相互依存网络的动力学模型，其中网络间为时变时滞线性耦合。针对此类相依网络，设计了非线性控制器及其增益的自适应更新规则，结合使用Lyapunov函数法和不等式技术，实现了两个网络间的广义同步。进一步地，将此整数阶相依网络模型推广到了分数阶的情形，结合使用分数阶Lyapunov函数法、Mittag-Leffler函数、Laplace变换及其它分数阶不等式技术，利用所设计的非线性控制器及其增益的分数阶自适应更新律，获得了两个分数阶相依网络之间的投影同步。最后，数值仿真证明了控制方案及相关同步准则的有效性和正确性。
　　(3)研究了线性耗散耦合分数阶动力学网络同步的分数阶分散自适应控制。基于邻居节点的局部信息交换，设计了若干新颖的分数阶分散自适应律来调整耦合边的权重。通过构造二次Lyapunov函数，利用分数阶不等式技术、Mittag-Leffler函数和Laplace变换，获得了实现该类网络同步的若干充分条件。其次，设计了若干分数阶分散自适应牵制律来调整一部分耦合边的权重，以实现该类网络的同步。最后，数值仿真实验结果表明，利用所提出的分数阶分散自适应策略，网络能够较快地获得同步。
　　(4)研究了分数阶复变量动力学网络同步的分数阶分散自适应控制。首先将上一章给出的分数阶动力学网络模型扩展到节点状态变量xk=(xk1，xk2，…，xkn)T∈Cn的情形。随后，给出了一个新的引理来估计Hermite二次型的Caputo分数阶导数。采用与上一章相似的技术路线，基于邻居节点的局部信息交换，设计了若干新颖的分数阶分散自适应律来调整耦合边的权重。再者，设计了若干分数阶分散自适应牵制律来调整一小部分耦合边的权重，以实现该类网络的同步。通过构造Hermite二次型Lyapunov函数，结合使用所提出的引理、Mittag-Leffler函数和Laplace变换，获得了实现该类网络同步的充分条件。最后，理论分析和数值实验表明了所提出的分数阶分散自适应策略及相关同步准则的有效性和理论推导的正确性。
　　(5)研究了一类由1+N个分数阶复变量动力学系统耦合而成的驱动系统-响应网络的复投影同步。基于相邻节点、节点和期望轨迹的局部信息交换，设计了一种有效的分数阶完全分散自适应策略来同时调整耦合边的权重和反馈控翩器的增益。随后，将牵制控制引入到完全分散自适应律中，给出了若干分数阶完全分散自适应牵制策略来调整部分耦合边权和反馈增益。通过构造适当的Lyapunov函数，结合使用上一章所提出的引理、Mittag-Leffler函数和Laplace变换，给出了利用所设计的自适应律来实现复投影同步的充分条件。最后，数值仿真实验结果表明，利用所提出的完全分散自适应策略，较快地实现了该类网络的复投影同步。

目录

声明

摘要

主要符号与标记

1．1 研究背景和意义

1．2 复杂动力学网络同步

1．3 复杂动力学网络的同步控制研究现状

1．3．1 整数阶动力学网络的同步控制研究现状

1．3．2 分数阶实变量动力学网络的同步控制研究现状

1．3．3 分数阶复变量动力学网络的同步控制研究现状

1．4 本论文的主要研究内容

第2章 分数阶时变动力学系统的稳定性及同步控制

2．1 引言

2．2 分数阶微积分基础知识

2．2．1 特殊函数

2．2．2 分数阶微积分的定义与性质

2．2．3 分数阶微分方程的数值算法

2．2．4 分数阶动力学系统的稳定性理论

2．3 分数阶时变动力学系统的稳定性与镇定

2．3．1 系统的稳定性分析

2．3．2 系统的镇定控制器设计

2．3．3 数值实例与仿真

2．4 分数阶时变动力学系统的同步控制研究

2．4．1 控制器设计与同步准则

2．4．2 数值实例与仿真

2．5 本章小结

第3章 两个相互依赖网络之间的自适应同步研究

3．1 引言

3．2 两个相互依赖网络之间的广义同步

3．2．1 问题描述

3．2．2 控制器设计与同步条件分析

3．2．3 数值实例与仿真

3．3 两个分数阶相互依赖网络之间的投影同步

3．3．1 问题描述

3．3．2 控制器设计与同步条件分析

3．3．3 数值实例与仿真

3．4 小结

第4章 分数阶动力学网络同步的分散自适应控制

4．1 引言

4．2 模型描述与预备知识

4．3 控制策略与同步准则

4．3．1 基于边的分数阶分散自适应策略

4．3．2 基于边的分数阶分散自适应牵制策略

4．4 数值实例与仿真

4．5 本章小结

第5章 分数阶复变量动力学网络同步的分散自适应控制

5．1 引言

5．2 模型描述与预备知识

5．3 一个新的引理及主要结果

5．3．1 一个新的引理

5．3．2 基于边的分数阶分散自适应策略与同步准则

5．3．3 基于边的分数阶分散自适应牵制策略与同步准则

5．4 数值仿真

5．5 本章小结

第6章 驱动-响应分数阶复变量网络的自适应复投影同步

6．1 引言

6．2 模型描述与预备知识

6．3 主要结果

6．3．1 复投影同步的分数阶完全分散自适应策略

6．3．2 复投影同步的分数阶完全分散自适应牵制策略

6．4 数值仿真

6．4．1 分数阶完全分散自适应策略的有效性分析

6．4．2 分数阶完全分散自适应牵制策略的有效性分析

6．5 小结

工作总结与展望

致谢

参考文献

攻读博士期间的论文及科研情况