金融期权价值的数值解求解——基于QUAD方法

摘要

上世纪70年代，美国宣布放弃布雷顿森林体系，美元不再盯住黄金，同时期，OPCE成立，世界上主要的产油国家联合成卡特尔限制石油产量以此来提高利润。各个国家的经济因此受到冲击，一方面，工业发展所需的重要原料的价格波动很大，影响产出；另一方面，用于全球贸易的工业产出由于汇率的波动对本国经济贡献也不稳定。一些重要的金融参数也开始浮动，如利率，黄金价格等，为了对这些风险做科学管理，华尔街的投资银行推出了很多应对风险的金融产品，这些产品种类繁多，在很大程度上对冲了金融风险，促进了金融市场的健康发展。然而对这些金融产品的定价却让人望而却步，由于分解风险，收益需要用到复杂的数学知识，这使得一般人对其都束手无策，而此时，冷战处于美攻苏守的局面，军备竞赛的缓和使得从NASA、国防部等释放了一批火箭科学家，有很大一部分受到华尔街的召唤把自己的才能应用到金融衍生品定价的研究中。在诸多的研究成果中，除了在纯数学框架下研究期权价值的解析解，对于期权数值解的求解，研究重点主要集中在Binomial Tree、Monte Carlo以及Finite Difference三种方法。前两种都是模拟标的资产价格运动，后者是对求解衍生品的偏微分方程离散化求解，三种方法都推动了金融衍生品市场的发展。但随着理论的深入研究，三种数值方法的缺点就逐渐暴露了出来。Adricopoulos等人（2003）指出，这三种数值方法都无法排除非线性误差，非线性误差指的是对一个积分，被积函数从某阶导数起不连续但却使用数值积分导致的误差，这种误差对继续使用其他提高精度的方法如 Richard Extrapolation方法造成障碍，其存在使得计算结果波动很大，这种误差无法通过计算步数的增加而降低；另外三种数值方法收敛速度也各不一样，Seydel（2012）分析得到，Monte Carlo算法的收敛速度为√△y，而对于 Finite Difference，以其中最好的算法 Crank-Nicolson为例，其收敛速度为((△t)2,(△y)2)，这些计算方法如果要与本文的计算理论QUAD相比，则收敛速度明显比较慢，在Simpson法则下，本文算法的收敛速度为(△y)4，明显优于前面的方法；Adricopoulos等人（2003）、Adricopoulos等人（2007）还指出，前三种方法求解奇异期权价值算法复杂，甚至无法求解。若把被求解的期权分解成标的资产价格过程和期权本身收益特征，则如果标的价格服从GBM以外的其他过程，收益特征依赖于资产在多期的收益时，此时前三种方法或者无法求解，或者求解速度很慢，并且由于非线性误差无法降低，都无法达到令人满意的效果。
　　本研究主要内容包括：⑴对QUAD理论研究的文献作总结回顾，从QUAD理论的提出，其在密度函数已知的情况下求解期权的过程，以及若无法直接用密度函数求解，如何使用it Sahalia算法对密度函数逼近等方面的文献作了综述，同时基于Lévy过程族特征函数存在封闭解的事实，回顾了关于特征函数的一些性质，为从特征函数角度出发通过QUAD求解期权奠定理论基础。⑵对数值积分理论作了总结，得到使用 Simpson法则计算速度可以达到4(y)，而梯形法则可以达到2(y)。以前面的理论为基础，分析了在随机过程概率密度函数已知的情况下QUAD的使用，探讨了非线性点的确定，网格点的建立，以及期权寿命内有多个观察点情况下网格点建立以及算法的演进。最后分析了如何从特征函数角度求解期权价值，Lévy过程族是研究衍生品时经常假设的随机过程，很多都不存在密度函数，而根据Lévy-Khintchine公式，Lévy过程特征函数都存在封闭解形式，如何从特征函数出发求解期权，文章作了分析。⑶对验证QUAD理论的一些细节作了说明。首先，对于标的资产的随机过程，本文将分密度函数已知和特征函数已知两种情况对GBM过程和Lévy过程族的两个例子讨论，得出概率密度函数或者条件特征函数，而对于期权的收益特征，研究重点放在欧式特征以及Bermudan特征，分析非线性点的确定、网格点的建立等。其次，在得到所需要的信息后，探讨了在使用面向对象编程实现之前的算法时类的设计，把期权分解成标的资产类和收益特征类，为了使程序稳健，设计过程中充分利用了继承、多态等机制，把标的资产类和收益特征类都设计成接口，使得后续只要实现了这些接口，就可以把建立好的对象带入QUAD计算类，QUAD计算类经过计算给出期权的价值。⑷对之前的算法用程序实现并分析结果。首先文章对欧式期权下不同标的资产过程求解，发现随着求解步数的增加，结果波动越来越小，逐渐趋近于基准参考值，同时求解结果很好地验证了买卖权平价关系；在验证Bermudan期权时，收敛效果也非常好，也验证了买卖权存在的不等式关系；最后为了说明QUAD求解体系的稳健性以及灵活性，文章求解了执行价格可以变动的Bermudan期权，收敛效果同样非常令人满意。

目录

声明

1．引 言

1.1 选题背景

1.2 选题意义

1.3 理论工具及研究方法

1.4 文章结构

2．文献综述

2.1 QUAD理论的提出

2.2 密度函数逼近理论

2.3.特征函数理论

2.4 小结

3．QUAD模型介绍

3.1 数值积分

3.2 概率密度函数已知情况下QUAD的应用

3.3 服从Lévy过程期权的求解

3.4 小结

4．QUAD理论应用

4.1 被检验衍生品分类

4.2 程序实现说明

4.3 小结

5．运行结果及分析

5.1 欧式期权求解

5.2 Bermudan期权的求解

5.3 其他类型期权求解

5.4 小结

6．结论与展望

6.1 结论

6.2 前景展望

参考文献

后记

致谢