线性化和Cremer点的局部动力学性质

摘要

复动力系统由Fatou和Julia等数学家创立于上个世纪二十年代，是复分析的主要分支.由于该学科与其它领域有着紧密的联系，已受到数学界的广泛关注，越来越多的数学家从事这方面的研究.复动力系统逐渐成为数学中最活跃的分支之一. 复动力系统的研究主要集中在有理函数映照系统，整函数系统，C*上全纯自映射系统(这里C*=C-{0}，C为复平面)及超越亚纯函数(非有理函数)系统，其中对有理函数动力学的研究是最系统、最全面的.已经得到了很多好的结果，但是还有一些悬而未决的问题，比如由于无理中性周期点可能属于Fatou集，也可能属于Julia集，在无理中性周期点邻域内的局部动力学性质比较复杂，所以对其认识还不很清楚. 研究已发现：解析函数的无理中性周期点属于Fatou集的充要条件是解析函数在该点及其附近是局部可线性化的.因此，讨论解析函数在无理中性周期点附近可线性化问题是非常必要和有意义的.Yoccoz，Brjuno等许多著名数学家们都在这方面做了大量的工作，得到了很多重要的结论，其中包括解析函数在无理中性周期点可线性化的一个充分条件(称其为BrjUllO条件[定义212])，并且Yoccoz已证出该条件对于二次多项式来说是最佳的.但是，现在还不知道对于一般解析函数，该条件是否仍为最佳.Douady'在文章[2]中提出了这个关于线性化问题的猜想：如果多项式是可线性化的，且那么在探索这个问题的过程中，本文得到了关于Cremer点的一个性质.本文共分成两章. 第一章，对相关的背景知识进行介绍，包括Riemann曲面的性质，有理函数复动力系统基础理论等. 第二章，讨论解析函数在无理中性周期点附近的线性化问题.考虑一般的情形：即函数，在单位圆盘上单叶解析，且为了回答Douady提出的关于线性化问题的猜想，本文构想了两种解决思路，并得到一个关于Cremer点的性质.

目录

文摘

英文文摘

声明

引言

第一章 预备知识

1.1 Riemman曲面的基础知识

1.2有理函数复动力系统的基础理论

1.3其他相关理论

第二章线性化和Cremer点的局部动力学性质

2.1线性化问题已有的一些经典结论

2.2主要结果及其证明

2.3结束语

参考文献

致谢