具有Siegel盘的多项式扰动

摘要

解析函数的局部动力学性质是复动力系统的重要内容之一.特别地，无理中性周期点的局部线性化是复动力系统中比较困难的问题之一.设P(z)=λz+a2z2+ a3z3+…+ adzd为次数大于等于2的多项式，其中λ=e2πiα，α∈(0，1)\Q.无理数α的性质直接影响无理中性周期点是否可局部线性化.在过去几十年中，数学家们陆续给出了几个局部线性化的充分条件，其中Brjuno条件是现在最好的充分条件，并且在P是2次多项式时，该条件还是必要的.Douady提出一个猜测:α满足Brjuno条件是有理函数在无理中性周期点局部可线性化的必要条件，这个猜想至今没有得到验证.Perez-Marco指出对于结构稳定多项式，Douady的猜想是正确的.此外，Geryer指出对于一类特殊的多项式族Pλ，d(z)=λz(1+z/d)d，Douady的猜想也是正确的.Perez-Marco和Geryer主要采用了扰动多项式的二次项系数，进而构造了存在Siegel盘的函数族，且该函数族中每个函数的Siegel盘都包含原点某个固定邻域.这样的函数族具有良好的动力学性质，也是处理该类问题的关键.因此，本文对存在Siegel盘且次数大于2的多项式P(z)，构造出了函数列Qn(z)=P(z)+Am(n)zm+ Am-1(n)zm-1+…+ A2(n)z2,其中Ai（n），i=2，3，…，m-1不全为0，使得Qn收敛于P，并且对每个n，Qn在原点的Siegel盘都包含原点的某固定邻域.

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摘要

1 引言

2 预备知识

2．1 复动力系统预备知识

2．2 拟共形映射

3 主要结论

参考文献

致谢

硕士期间研究成果