修正Bernstein 算子的Bernstein-Markov不等式及正逆定理

摘要

Bernstein算子是一类重要的线性算子，在逼近论及计算数学等方面有着许多应用，并且关于Bernstein 算子的研究结果非常丰富。Bernstein算子具有优良的性质和良好的结构，是研究各类函数逼近性质的有利工具。因此，Bernstein算子的各种性质、推广、应用等问题一直受到人们的关注，产生了大量的研究成果。1953年，Lorentz在其著作“BernsteinPolynomials”中，对多项式的各种性质及其推广等问题做了较全面的阐述和总结。在此后又有很多数学工作者对此进行了更加广泛的研究，参见[3]，[5]等。2003年，文章[2]中提出带有奇点的Bernstein算子及其线性组合的点态逼近，进一步丰富了Bernstein算子逼近的结论，如[4]Wei Bao-rong，Zhao Yi给出的结果。论文将针对具有奇性函数f进行讨论，论文针对此类函数定义了两类修正的Bernstein算子及其Bernstein 算子的线性组合形式，并在此基础上给出了各类推广形式的Bernstein算子的加权的Bernstein-Markov型不等式及正逆定理，上述结论推广了之前数学工作者们的结论。
　　 本文共有五章:
　　 第一章介绍文中涉及的相关概念，记号以及一些常用的基本定理。
　　 第二章讨论了B*n(f,x)和B-n(f,x)的Bernstein-Markov型不等式，加权的B*n(f,x)多项式和B-n(f,x)多项式的直接估计和逆估计。
　　 第三章讨论了关于B*n,r(f,x)和B-n,r(f,x)多项式的Bernstein-Markov型不等式，又讨论了加权的B*n,r-1(f,x)和B-n,r-1(f,x)多项式的直接估计和逆估计。
　　 第四章讨论了B*n(f,x)和B*n,r(f,x)的Bernstein-Markov型不等式，B-n(f,x)和B-n,r-1(f,x)的Bernstein-Markov型不等式，又讨论了Step-Weight函数为凹函数时的B*n(f,x)和,B-n,r-1(f,x)多项式的直接估计和逆估计，Step-Weight函数为凹函数时的B-n(f,x)和B-n,r-1(f,x)多项式的直接估计和逆估计。
　　 第五章是全文的总结。