外汇市场中分数阶Fokker-Planck方程的推导及其应用

摘要

本文主要研究了汇率价格变动过程{△X(Sα(t))}的概率密度函数p(z，t)所满足的分数阶Fokker-Planck方程的推导，同时也给出了由汇率价格变动过程{△X(Sα(t))}所驱动的期权价格函数V(z，t)所满足的非古典的Black-Scholes方程，由汇率价格变动过程{△X(Sα(t))}所驱动的期权价格满足的非古典的Black-Scholes公式。
　　 本文共分五个章节，第一章主要介绍了文章的研究背景、国内外的研究现状及一些必要的预备知识、预备定理。尤其介绍了拉普拉斯(逆)变换、傅里叶(逆)变换、δ(x)函数的性质及应用。第二章，重点是对随机过程{x(τ)}其概率密度函数f(x，τ)所满足的Fokker-Planck方程进行推导，在本章中，应用了转移概率的定义和傅里叶变换及逆变换，δ(x)函数的性质，推导出了f(x，τ)所满足的Fokker-Planck方程。第三章，也就是本文的核心及重点部分：通过对随机模型dY(τ)=-0.44Y(τ)dr+√0.019Y(τ)dB(τ)进行改进，(其中B(τ)为标准布朗运动，Y(τ)=△X(τ)=X(τ+△τ)-X(τ)为美元--德国马克汇率的价格增量)。得到了复合随机过程{△X(Sα(t))}的概率密度函数所满足的分数阶Fokker-Planck方程。第四章，重点推导了复合随机过程{△X(Sα(t))}所驱动的期权价格函数V(z，t)所满足的非古典的Black-Scholes方程、复合随机过程{△X(Sα(t))}所驱动的期权价格满足的非古典的Black-Scholes公式。第五章，为本文的总结，同时也探讨了今后的研究方向。

目录

文摘

英文文摘

第一章 引言与预备知识

1.1 引言

1.1.1 国内外研究现状

1.1.2 关于汇率的研究

1.2 预备知识

1.2.1 α-stable levy 过程

1.2.2 δ(x)函数及其性质

1.2.3 逆α-stable算子Sα(t)

1.2.4 黎曼-刘维尔分数阶导数

1.2.5 Mittag-Leffler函数

1.2.6 积分变换及有关有关性质

1.2.7 分数布朗运动及其性质

1.2.8 主要引理及证明

第二章 概率密度函数f(x,τ)所满足的Fokker-Planck方程推导

2.1 前言

2.2 f(x,τ)所满足Fokker-Planck方程的推导

2.3 小结

第三章 复合随机过程{△X(Sα(t))}的概率密度函数P(z,t)所满足的分数阶Fokker-Planck方程(FFPE)的推导

3.1 前言

3.2 FFPE的推导

3.3 小结

第四章 外汇市场中非古典的Black-Scholes(B-S)方程及Black-Scholes(B-S)公式的推导

4.1 前言

4.2 B-S方程的推导

4.3 B-S公式的推导

4.4 小结

第五章 总结与展望

致谢

参考文献

附录