分数阶微分方程中的径向基函数无网格方法

摘要

分数阶微分方程被广泛应用于具有记忆性质、遗传和路径依赖的物理过程和材料特性等工程科学领域。本文研究Caputo意义下的时间分数阶微分方程和Riemann-Liouville意义下的空间分数阶微分方程的径向基函数无网格方法。
　　对Caputo意义下的时间分数阶微分方程，本文结合差分方法得到关于时间项的分数阶微分的一个逼近形式，并使用径向基函数插值处理空间项，联立初始条件和边界条件得到了一个离散计算格式。通过离散Fourier变换与Gerschgorin定理证明该格式无条件稳定，以Taylor展开和径向基函数理论为基础得到其局部截断误差和空间步长、时间步长以及径向核的关系。
　　对Riemann-Liouville意义下的空间分数阶微分方程，我们使用径向基函数对空间项的分数阶微分插值，并引入Gauss-Legendre数值求积公式得到分数阶微分的一个逼近公式，联立初始条件与边界条件就得到了一个离散迭代格式。关于稳定性与收敛性，我们得到了当径向核的参数和时间、空间步长满足一定条件时格式稳定，同时给出其局部截断误差。
　　为了验证理论分析，我们计算了分数阶常微分方程，带Dirichlet、Neumann边界条件的时间分数阶微分方程和带Dirichlet边界条件的空间分数阶微分方程等几个数值例子。

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第一章绪论

1.1分数阶导数的发展历程

1.2分数阶微分的一些基本理论

1.3分数阶微分方程的研究现状

1.4本文研究内容

第二章时间分数阶微分方程的径向基函数无网格方法

2.1径向基函数插值理论

2.2方程的离散化

2.3配置法

2.4算法框架

2.5局部截断误差与稳定性分析

2.6本章小结

第三章空间分数阶微分方程的径向基函数无网格方法

3.1方程的离散化

3.2 Gauss数值积分

3.3径向基函数插值

3.4算法框架

3.5局部截断误差和稳定性分析

3.6本章小结

第四章数值实验及分析

4.1分数阶常微分方程的数值解

4.2时间分数阶微分方程的数值解

4.3空间分数阶微分方程的数值解

第五章总结与展望

致谢

参考文献

攻硕期间取得的研究成果