关于q型Szász-Beta-Stancu算子和修正q-Baskakov算子逼近性质的研究

摘要

算子逼近是函数逼近论的一个重要分支，主要是考察线性算子序列(如Bernstein算子、Baskakov算子、Szász-Mirakjan算子等)的收敛性及收敛速率，并利用其良好的性质刻画算子的高阶导数，以及研究一些变形算子(如Baskakov-Kantorovich算子等)的逼近问题、饱和性、正逆定理等。
　　2010年V. Gupta和Ali Aral定义了一种q型Szász-Beta算子，它有着许多和q-Szász-Beta算子相似的性质，得出了一些经典的结论，如收敛定理、在加权空间中的逼近问题以及一致逼近定理等，并借助于K-泛函，着重讨论了它的特征刻画问题。Stancu型算子是近年来函数逼近研究的热门，因此我们考虑q型Szász-Beta-Stancu算子，研究该算子的各种逼近问题，如一致收敛性、逼近定理等。Baskakov型算子是研究函数逼近问题的一种重要工具。运用类似研究q型Szász-Beta-Stancu算子逼近性质的思想，我们深入的研究了一类修正的q-Baskakov算子在不同函数空间中的逼近性质，并揭示这类算子的单调性。
　　文章主要分为以下几个部分：第一章主要回顾了算子逼近的发展历史和现状，以及Szász算子和Baskakov算子国内外的一些研究成果。第二章，在研读q型Szász-Beta算子逼近性质文献的基础上，对q型Szász-Beta算子做适当的修正得出新的算子，即q型Szász-Beta-Stancu算子，并计算它的中心矩，给出它的Vorontsovskaya型定理。第三章，借助中心矩和光滑模等工具，研究q型Szász-Beta-Stancu算子的逼近定理。包括给出此算子的逼近正定理、点态收敛的速度和加权逼近性质。第四章研究修正的q-Baskakov算子，通过计算该算子的中心矩，得到其单调性质，利用连续模等工具得到其对Lipschitz函数等不同函数的逼近性质定理，使其逼近性质适用于更广的函数空间，拓展了研究范围。第五章，对正文提出的问题做出总结，阐述研究目的和意义，对于是否还能继续改进、推广前人的结果做出预测，并对未来可能的研究方向做出展望。

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1 绪论

1.1 引言

1.1.1关于q-Szász-Mirakjan型算子的研究进展

1.1.2关于q-Baskakov算子的研究进展

1.2 相关定义和记号

1.3 经典结论回顾

2 q型Szász-Beta-Stancu算子及其Vorontsovskaya型定理

2.1 问题的引入

2.2 相关定义和引理

2.3 定理及证明

3 q型Szász-Beta-Stancu算子的逼近性质

3.1 问题的引入

3.2 相关定义和引理

3.3 定理及证明

4 一类修正的q-Baskakov算子的性质研究

4.1 问题的引入

4.2 相关定义和引理

4.3 定理及证明

5 总结与展望

致谢

参考文献

附录：作者在读期间发表的学术论文及参加的科研项目