广义拓扑空间中的开集与连续性的研究

摘要

自从2002年，A.Csaszar提出广义拓扑的概念，先后有学者在广义拓扑空间上建立了基本点集、连续性、连通性、分离性、乘积性质、覆盖性质等理论，逐步丰富了广义拓扑的理论。基本点集与连续性理论作为点集拓扑的基础内容，自然也是广义拓扑研究的热点问题。本论文在前人已有结果的基础上，就广义拓扑的点集理论中的开集问题与广义拓扑中的连续性问题进行研究，取得如下结果：
　　1.在匈牙利数学家A.Csaszar定义的四类特殊广义开集的基础上，研究了这四类开集及原广义开集就强广义性的关系。五类广义开集就强广义性有如下结果：广义拓扑空间(X,g)、(X,α(g))、(X,π(g))三者的强广义性一致；(X,σ(g))与(X,β(g))总是强广义的。随后，利用所获得的主要结果证明极不连通性严格强于强广义性。最后，给出在广义拓扑空间中关于极不连通性与不连通性关系的几个简单结果。
　　2.根据A.Csaszar定义的(Ψ,Ψ')-连续以及W.K.Min定义的弱(Ψ,Ψ')-连续，类比于几乎(g，g')-连续的研究方法，给出广义拓扑中几乎(Ψ,Ψ')-连续的定义，并研究该种连续的等价刻画。随后，指出几乎(Ψ,Ψ')-连续严格强于弱(Ψ,Ψ')-连续，但与(Ψ,Ψ')-连续互不蕴含；但若像空间是极不连通空间，如果f是几乎(Ψ,Ψ')-连续映射，则是几乎(gΨ,gΨ')-连续映射。
　　3.针对W.K.Min研究的关于广义开集连续的三种特殊连续性的关系，类比于一般拓扑，给出在广义拓扑中关于这三种连续关系的一些结果。首先，研究g-开映射、g-正则空间、集合边界及准空间的简单性质。随后，利用这些性质，得到如下的结果：若f既是弱(g,g')-连续映射，又是g-开映射，则f是几乎(g,g')-连续映射；若像空间是g-正则空间，f是弱(g,g')-连续映射，则f是(g,g')-连续映射；若原像空间为准空间，且对于像空间中的任意开集，其边界的原像集为闭集，则弱(g,g')-连续映射f是(g,g')-连续映射。

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第一章 引 言

1.1 广义拓扑的研究内容

1.2 广义拓扑中的基本概念和定理

1.3 本文的预备知识

1.4 本文内容结构

第二章 广义开集及连续性的性质

2.1 广义拓扑中开集的研究现状

2.2 广义拓扑中连续性的研究现状

第三章 五类广义开集的关系探究

3.1 研究背景

3.2 五类广义开集的关系探究

3.3 应用举例

第四章 几乎连续性

4.1 研究背景

4.2 几乎(Ψ,Ψ')-连续性的定义及等价刻画

4.3 几乎(Ψ,Ψ')-连续与其它连续的关系

4.4 总结

第五章 三类连续性关系的探究

5.1 研究背景及知识预备

5.2 基本引理

5.3 主要定理

致谢

参考文献

攻读硕士期间取得的研究成果