研究Lotka-Volterra模型中扩散率及种间竞争系数对物种生态行为的影响

摘要

从偏微分方程的角度上来看通常把半线性抛物型方程叫作反应扩散方程。在数学理论上，反应扩散方程求解的就是在各种初值、边值条件下，随着时间增长的解的行为。比如：整体解的存在唯一性，波动性和趋于平衡性以及平衡解的结构、稳定性问题、分歧现象等。在近几十年里， Lotka-Volterra竞争扩散模型一直都是数学家、生物学家和生态学者们研究的一个重要系统。一直以来，学者们着重研究Lotka-Volterra竞争扩散模型中的种间竞争系数、扩散率和空间等，并取得了很多有趣的结果。本文主要是研究Lotka-Volterra竞争扩散模型中的种间竞争系数和扩散率依赖空间。在之前研究的基础上对种间竞争系数进行拓展，主要利用Shadow System将内部竞争为1的情况拓展到(0,1)的取值范围，考虑两竞争物种的稳态情形，最后得出的结果和一种物种内部竞争取定值有类似的稳态情形。我们利用主特征值的方法，探究各物种扩散率依赖空间位置的种群动力学行为，所得出的结论与扩散率不依赖空间位置的动力学行为类似。
　　本研究分为五个部分：第一章介绍了Lotka-Volterra竞争扩散模型相关研究工作的背景、目的和意义。第二章介绍了Lotka-Volterra竞争扩散模型中的Shadow System，主特征值的一些基本概念和定理。第三章总结出种间竞争系数在一定取值范围决定物种稳态的一些结论。根据第二章的Shadow System推出一些基本定理，利用这些定理去推出Shadow Sys-tem的稳态情形，进而得到原系统的稳态情形。第四章介绍扩散率不依赖空间位置时的一些相关结论。证明在Lotka-Volterra竞争扩散模型中，扩散率依赖空间位置与扩散率不依赖空间位置有类似的动力学行为。第五章对所证出的一些结论进行总结，并对以后研究工作进行展望。

目录

声明

1 绪论

1.1 Lotka-Volterra竞争模型的产生与发展

1.2 Lotka-Volterra竞争扩散模型问题

1.3 本文的主要工作和具体安排

2 预备知识

2.1 Lotka-Volterra竞争扩散系统的基本概念

2.2 Shadow System的概念

2.3 Shadow System的相关定理

2.4 主特征值的一些概念和定理

2.5 本章小结

3 竞争扩散模型中种间竞争系数决定的稳态情形

3.1 Shadow System的一些相关命题

3.2 种间竞争系数所得到的一些结论

3.3 Lotka-Volterra竞争扩散模型定理证明

3.4 本章小结

4 Lotka-Volterra竞争扩散模型中扩散率依赖空间位置

4.1 扩散率不依赖空间位置系统

4.2 扩散率不依赖空间位置的一些动力学行为

4.3 扩散率依赖空间位置的一些动力学行为

4.4 本章小结

5 总结与展望

5.1 总结

5.2 展望

致谢

参考文献

附录