循环群的超P性及其子集性质的研究

摘要

循环群是由群中一元生成的群，循环群在群中构造是最简单的，并且也是最基本的。基于循环群在群中的特殊地位，即有限交换群可以分解为循环子群的直积。人们早已成功地把循环群的存在问题、数量问题、构造问题研究清楚了，不过对于其特殊性质、应用及其子集的性质仍然有广泛的研究价值，而其子集的零和问题和完备性问题，以及其上和超差集合的构造也成为了目前群论研究的热点问题。本课题旨在专题研究循环群的性质及其子集的性质，在前人得到的部分成果的基础上，吸收一些国内外学者成功的研究思路和研究方法，进行如下的研究和创新： 1.研究了有限群部分元素乘积的问题，讨论了有限群中一类特殊的有限群-超P-群的存在性。利用元素序列乘积的思想研究有限循环群的超P性，证明了所有的有限循环群是超P-群，并给出了一类21阶非交换群是超P-群的例子，将超P-群的研究延伸到非循环群的领域。 2.研究了有限群中的零和问题，对于作为零和加法理论研究的基本定理之一的Erd6s-Ginzburg-Ziv定理，W.D.Gao对其逆问题提出了自己的猜想，并证明了当n=p'，p是素数，ι是大于1的整数时猜想成立。本文利用Kneser's定理证明给出W.D.Gao猜想成立的另外一种情况：当n=paqβ，其中p、q是互异素数，且a、β是正整数。 3.考虑了整数群的子集自身和及自身差势的问题，基于对前人给出的几类整数群上和超差集合构造的研究，通过对两个典型有限和超差集合A1=(O,2,3,4,7,11,12,14)和A2=(O,2,3,4,7,9,13,14,16)的有限分解，即A1={0,2}U{3,7,11，…,4k-1}U{4k,4k+2)U{4}，其中k是不小于3的正整数；A2={0,2)U{3+6x1+4x2｜O≤x1≤1且0≤x2≤ι-1)U{4ι+8-{0,2))U{4)，其中ι是不小于2的正整数。给出整数群上几类更为广泛的和超差集合的构造，使集合的势从有限上升到无限，并更进一步地在有限交换群上探讨和超差集合的存在性，拓展了前人的理论研究成果。 本课题通过研究有助于对抽象群论的构造认识更深入、更具体，对前人的部分成果有了创新和发展，对群构造，特别是循环群子集构造的研究有着一定的意义。

目录

文摘

英文文摘

声明

第1章引言

1.1课题学术背景及理论与实际意义

1.2国内外研究现状

1.2.1超P-群的研究

1.2.2有限循环群中的零和问题

1.2.3和超差集合的构造

1.3研究思路与研究方法及创新点

第2章绪论

2.1群论产生的历史背景

2.2群论的发展及内容

2.3群论的应用

第3章预备知识

3.1符号和术语

3.2基本定义

3.3基本定理

第4章循环群的超P-性

4.1相关定义及引理

4.2主要结果

4.3一类21阶非交换超P-群

第5章有限循环群中的零和问题

5.1相关定义及引理

5.2主要结果

第6章几类和超差集合的构造

6.1相关定义及引理

6.2整数群上几类和超差集合的构造

6.3有限交换群上一类和超差集合的构造

结论

致谢

参考文献