分数阶扩散问题的全变分正则化

摘要

本文主要研究了一个分数阶二维扩散方程的初始值计算的不适定问题。首先通过理论计算得出了分数阶扩散方程的解析解u(p，α)及其与初始值a的关系式;其次，基于T时刻的观测值gδ求初始值a是一个不适定问题，本文利用全变分正则化和双正则化方法将该不适定问题转变为适定性问题，即通过求解如下的最优化问题:Jδ,εβ（a）=arg minα∈M{βJTV（a）+λ/2‖1/TαΓ(1-α)A-10a-gδ‖2L2(Ω)+τ/2‖A-10a-A-1a‖2L2(Ω)}。其中λ，τ，β为正则化参数，而求得初始值a，并证明了这个最优化问题正则解的存在唯一性、稳定性以及收敛性;最后利用Bregman迭代方法给出了求解最优化问题近似解的迭代步骤以及迭代公式，在噪声水平测量数据下给出了正则化参数选择策略，并在迭代方案中给出了误差估计和收敛率满足的条件。

目录

声明

摘要

第1章 引言

1．1 不适定问题简介

1．2 全变分正则化方法简介

1．2．1 全变分正则化定义

1．2．2 BV半范数的无约束优化问题

1．3 分数阶微积分简介

1．3．1 Riemann-Liouville分数阶积分和导数

1．3．2 Caputo分数阶导数

1．4 分数阶扩散方程简介

1．5 本文的主要工作

第2章 分数阶扩散问题的全变分正则化方法

2．1 预备知识

2．2 问题的提出

2．3 方程的解

2．4．1 全变分正则化和双正则化

2．4．2 正则解的适定性分析

2．5 小结

第3章 Bregman迭代和收敛率

3．1 Bregman迭代的相关知识

3．2 Bregman迭代求解方程的近似值

3．3 小结

结论

致谢

参考文献

硕士期间取得学术成果