曲率渐近非负黎曼流形和双曲流形中的若干问题

摘要

本文共有五章。第一章分为五节，主要讨论了在曲率渐近非负的流形上，由对一固定指数的多项式增长的调和函数所组成的空间的维数。第二章包括三节，我们讨论了径向Ricci曲率渐近非负流形上的本性谱。第三章包含三节，主要研究了双曲空间形式的Hessian方程的边值问题。第四章包括两节，主要讨论双曲空间中具有平行平均曲率的紧致子流形的一个分类。第五章共有四节，我们主要研究常曲率空间中具有常标量曲率的紧致子流形的一个分类。第一章是关于曲率渐近非负的完备非紧流形上的调和函数，共包含五节。在第1.1节中，我们给出了我们所要证明的定理1.1.1设M为曲率渐近非负的完备非紧Riemann流形，如果其调和函数是对一固定的指数的多项式增长，那么这些调和函数所组成的空间是有限维的。在第1.2节中，我们给出了一些定义与记号，如：曲率渐近非负，是指KM(x)≥-λ(r(x))，这里λ(·)是定义在[0，+∞)上非增非负函数，且∫∞0rλ(r)dr＜+∞，这里r(x)=dist(p,x)，p为M上的固定点。对一固定指数的多项式增长的调和函数所组成的空间，我们记为：Hd(M)=｛u为调和函数，且|u|≤c(rd+1)}。另外，还给出了证明定理所需满足的三个性质：性质1.2.4若M为曲率渐近非负的完备、非紧n维流形，则对(A)x∈M，(A)r≥0，有 Vx(2r)≤CDVx(r)这里Vx(r)=Vol(Bx(r))，Bx(r)=｛y∈M|dist(x，y)＜r}。性质1.2.5 在曲率渐近非负的完备、非紧n维流形M上成立局部的Neumann-Poincare不等式：即存在常数CN，使得对 (A)x∈M且r(p，x)≥rm0+4r(r＞0)，f∈Wloc1.2(M)，有(公式略)这里A=∫Bx(2r)f/Vx(2r)，m0＞1且为与n有关的某一常数。性质1.2.6 如果λ＞1，u为Mn上任一调和函数，对(A)x∈Mn和r＞0，则(E)CF=CF(λ)＜∞，使得(公式略)在第1.3节中将证明性质1.2.4，性质1.2.5在第1.4节中证明，而性质1.2.6已有邱成桐证明了，故我们只是陈述。最后一节即第1.5节我们将利用这三个性质及一些引理来证明定理1.1.1。关于Ricci曲率在紧集外不是非负的情况下，Laplacian算子△的本性谱还未见有过讨论，因此，第二章讨论了径向Ricci曲率渐近非负完备非紧流形的本性谱。其中第2.1节给出了如下一些定理定义。定理2.1.1设M是一个具有极P的n维完备非紧黎曼流形，且其在一个紧集K外，径向Ricci曲率≥-n-1/4(r-a)2，其中K(∈)B(P，a)，r指到P的距离，那么其σess(△)=[0，+∞)。定义2.1.2一个完备黎曼流形称为Ricci曲率渐近非负的，如果对工(A)x∈M，有 Ricci(x)≥-λ(dist(x，P))这里λ(t)是一个R+上的正的实值函数，而且适合∫a+∞tλ(t)dt＜+∞，a＞0，P是M上固定的点。定理2.1.1的关于Ricci曲率的条件较之Ricci曲率渐近非负更强，因为Ricci曲率渐近非负是指在无穷远处λ(t)≥O(t-2+ε)和Ricci≥-λ(t)，因此下面的系是显然的。系 如果M是一个具有极的n维黎曼流形，而且其之Ricci曲率渐近非负，则其之Laplacian算子△的本性谱σess(△)=[0，+∞)。在第2.2节中给出了与定理2.1.1的证明有关的知识：因为在一个n维完备非紧黎曼流形M上的Laplacian算子△是在L2(M)上的自共轭算子， 因而其谱是非负实数。而且对于本性谱，有下面的定理定理Aλ∈σess(△)(=)对(A)ε＞0，都存在一个D(△)的无穷维子空间G，使得对每一个f∈G，都有‖△f-λf‖＜ε‖f‖，这里‖·‖是L2上的模。在第2.3节中，通过构造函数，利用在第二节中给出的相关引理和定理来证明定理2.1.1。第三章研究关于双曲空间形式的边值问题，得到如下两个定理：定理3.1.1设M是一个具有光滑边界的紧黎曼流形，方程 D2ψ=ψg (3.1.3)对于Dirichlet边值问题与Neuman边值问题都没有非平凡解。这里非平凡解，即指ψ≠0，因为ψ为非零常数时，显然不适合式(3.1.3)。定理3.1.2设M是具有光滑边界的紧黎曼流形，如果对于{D2ψ=ψg， 在M上ψ+b(a)ψ/(a)v=0，在(a)M上，b＜-1(3.1.4)有非平凡解，则M等度量同构于Hn(-1)中半径为1/2lnb-1/b+1的测地球，即外围Minkowski空间中1≤x0≤(1-b-2)-1/2的紧区域，而且这里b＜1的限制是不可少的，当b在此范围之外，式(3.1.4)依然无解。第四章研究了双曲空间Hn+p(-1)中具有平行平均曲率的紧致子流形，本章共有两节。第4.1节是准备知识，给出了如下一些定义及性质： 设Mnc Hn+p(-1)，约定记号(公式略)在Hn+p(-1)中选取局部标准正交基｛eA}，限制在M上，使其与M相切。设{ωA}和{ωAB}分别为H+P(-1)的对偶标架场和联络1一形式。把这些形式限制在M上，我们有(公式略)这里h，ξ，Rijkl和rabkl分别为M的第二基本形式，平均曲率向量，曲率张量和法丛曲率张量。我们记(公式略)定义4.1.1若ξ在M中的法丛平行，称M为平行平均曲率子流形。因此可选取en+1，使n+1∥ξ，trHn+1=nH且rtHβ=0，β＞n+1。记SH=∑i,j(hn+1ij)2，SI=∑i,jβ≠n+1(hβij)2。 性质4.1.2 M为平行平均曲率子流形，则H=Const且Hn+1Hβ=HβHn+1。在第4.2节中，我们利用上述定义、性质以及一些相关引理，得到了一些定理以及有关推论。设H2≥4(n-1)/n2，不妨设H＞0。令 α(n,H)=-n+n3/2(n-1)H2-n(n-2)/2(n-1)√n2H4-4(n-1)H2定理4.2.1 设Mn是Hn+p(-1)中具有平行平均曲率的紧致子流形，当S≤α(n，H)时，或者M为伪脐点的，或者S=SH=α(n，H)，且M为全测地子流形Hn+1(-1)中的两个全脐点常曲率子流形的黎曼积。推论4.2.2 设Mn是Hn+1(-1)中具有平行平均曲率的紧致子流形，当S ≤ α(n，H)时，或者M为全脐点的(当H2≠1时)或者M为两个全脐点常曲率子流形的黎曼积。定理4.2.3 设Mn是Hn+p(-1)(n≥3)中具有平行平均曲率的紧致子流形，当S≤α(n，H)时，或者(1)SH=nH2，SI=0，即M为全脐点的，或者(2)SH=S=α(n，H)，即M为全测地子流形Hn+1(-1)中的两个全脐点常曲率子流形的黎曼积。定理4.2.4 设M2是H2+p(-1)中具有平行平均曲率的紧致子流形，当S≤α(2，H)且H2≠1时，则或者M是全脐点，或者M是两个全脐点常曲率子流形的黎曼积。第五章共包含四节，分析了常曲率空间Nn+p(c)(这里c=1，-1)中具有常标量曲率的紧致子流形问题。我们利用第5.2节中的准备知识在第5.3节和第5.4节中分别证明了下述定理5.1 1和定理5.1.2。定理5.1.1设Mn(n≥3)是N+p(c)中具有常标量曲率n(n-1)r的紧致子流形，当第二基本形式模的平方S ≤α(n，r，c)时，则M等距与全脐点子流形Sn(r)或者全测地子流形Nn+1(c)中的两个全脐点常曲率子流形的黎曼积，这里(公式略)定理5.1.2设M。是常曲率空间N2+p(c)中具有常标量曲率n(n-1)r的紧致子流形，当r≥0时，则M2或者是极小曲面(当c=1时)，或者是全脐点子流形S2(r)。

目录

文摘

英文文摘

第一章 曲率渐近非负的完备非紧流形上的调和函数

1.1引言

1.2准备工作

1.3性质1.2.4的证明

1.4性质1.2.5的证明

1.5定理1.1.1的证明

第二章 径向Ricci曲率渐近非负完备非紧流形的本性谱

2.1引言

2.2记号和引理

2.3定理2.1.1的证明

第三章 关于双曲空间形式的Hessian方程的边值问题

3.1引言

3.2定理C的简化证明

3.3边值问题的讨论

第四章 双曲空间H n+p(-1)中具有平行平均曲率的子流形

4.1引言

4.2主要结果

第五章 常曲率空间N n+p(c)中具有常标量曲率的子流形

5.1引言

5.2准备工作

5.3定理5.1.1的证明

5.4定理5.1.2的证明

参考文献

致谢