具有时滞的van der Pol-Duffing系统的双Hopf分岔

摘要

本文主要研究了在具有时滞反馈的van der Pol-Duffing系统中，时滞引起的非共振的双Hopf分岔、混沌及分岔解的定量计算。首先，根据对原系统的线性分析，及Hopf分岔定理，得到1：√2非共振时系统发生双Hopf分岔的充要条件，其中，时滞及反馈增益为分岔参数。然后，用中心流形定理及规范型方法将原时滞系统约化到4维中心流形上，即，将原无限维问题转化为4维问题。并定性地画出双Hopf分岔点附近的分岔图，对双Hopf分岔点附近的动力学行为进行分类。 容易验证，当参数在分岔点附近取值时，中心流形理论(CMT)等方法解得的谐波解，不仅在定性上且在定量上，能够与数值模拟吻合得很好。但是，当参数逐渐远离分岔点时，用CMT等得到的解与数值模拟的结果偏差越来越大，直到完全无效。为克服CMT的这一缺点，我们提出用改进的摄动增量法(PIS)来求解时滞系统的周期解，甚至概周期解。数值模拟表明，改进的PIS能有效地解决这一问题，且得到的解可得到任意高精度。总之，本论文所提出的用CMT及PIS方法，不仅可以定性地而且定量地分析讨论时滞系统。其中，得到高精度的概周期解是本论文的一个重要结果。据我所知，至今为止，这方面的研究成果不多。 除了上述内容外，作者还发现，所研究的系统的动力学行为极其丰富：在分岔点附近的很小的领域内，不仅存在着死岛(振幅为零的区域)、稳定的周期解，还有概周期解、混沌等等复杂现象。这一结果表明，系统对时滞的变化非常敏感：即使对时滞作很小的扰动，系统的动力学行为都有可能会发生巨大的变化。值得注意的是，本文中的考虑时滞的系统的参数平面中存在着稳定区域，而这在对应的无时滞的系统却是没有的。我们可以利用该点性质，实现对实际中的动力学系统的结构的稳定性控制。另一方面，在通信领域的同步传送方面，却是要产生混沌的。所以，死岛和混沌这两种现象都有重要的实用价值。总之，利用这些结果，我们可以通过调整时滞等参数来控制系统的动力学行为。这种参数控制方法不但有效，而且在操作上很容易实现，因此具有很好的应用前景。

目录

文摘

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声明

第一章 绪论

§1.1研究背景

§1.2时滞系统研究现状

§1.2.1研究模型

§1.2.2研究方法与结果

§1.3本文的研究动机与主体结构

第二章 基本理论

§2.1分岔的基本概念

§2.2 Hopf分岔定理

§2.3分岔的余维数

§2.4 Floquet理论及稳定性分析

§2.5中心流形方法

§2.6规范型方法

§2.7 Poicaré截面与吸引子

§2.8关于混沌

§2.8.1混沌简介

§2.8.2通向混沌的道路

§2.8.3混沌控制问题

第三章 非共振van der Pol-Duffing时滞系统的双Hopf分岔

§3.1模型及稳定性分析

§3.2中心流形分析

§3.3规范型计算

§3.4双Hopf分岔分析

§3.5理论近似解

§3.6混沌初步研究

§3.7小结

第四章 摄动增量法(PIS)

§4.1周期解的求解

§4.2概周期解的求解

§4.3算法的实现

§4.4算例

§4.5小结

附图与附表

第六章 总结

§6.1结论

§6.2关于进一步的研究工作

参考文献

附录A 数值计算方法

攻读硕士学位期间发表的论文

致谢