具有时滞的非线性动力系统双Hopf分岔研究

摘要

从自然界到人类社会、从自然科学、工程技术到社会科学，时滞现象无处不在。所谓“时滞”(“time delay”，“delay”)指系统当前的发展趋势明显的依赖于过去的历史状况。它广泛存在于生态学、生命科学、神经网络、激光、信息技术、机械工程、航空航天、保密通讯、经济等领域。时滞对系统动力学的影响常常是本质的，不仅影响系统的稳定性，而且使系统失稳，并发生Hopf分岔、双Hopf分岔，出现“静默”运动、周期运动、概周期运动、多稳态运动、混沌运动等丰富、复杂的动力学行为。作为一门新兴学科，时滞动力学用于描述、刻画时滞对事物演化的影响规律，近十年来已越来越受到国内外学术界的关注。通过对时滞系统动力学的研究，可以得到时滞对系统的稳定性、分岔的稳定性和方向、双Hopf分岔的分类和开折、混沌等诸多动力学现象的影响规律，并对不同背景下若干现实问题赋予不同的含义和应用，以求科学的解释有关现象机理，如：平衡点稳定性条件可应用于结构减振、镇定、传染病控制中消除疾病、生物控制中灭害虫、保持生态平衡、神经网络联想记忆中提取信息等方面;混沌可应用于混沌同步保密通讯、混沌振动筛、大脑的理解、天气预报等方面;周期解则可应用于人造卫星、航天飞机等飞行器的飞行控制、神经网络同步化响应和脑神经周期振荡等…总之，对时滞动力系统的研究可以达到两个效果：预测，根据得到的结果，可以预测到在不同的参数空间区域内，系统演化的长期性态;控制，根据上述预测结果，通过控制参数可以把系统调节到所希望的状态，用于不同的应用背景。双Hopf分岔是时滞引起的一种重要的动力学现象。事实上，在双Hopf分岔点邻域内具有丰富的动力学行为，不同拓扑结构的动力学模式就多达12种。首先，每一种动力学模式在物理背景下都具有现实意义；其次，共振双Hopf分岔分类是一个极其困难的问题，在理论研究方面，至今尚未完成;最后，两时滞和单时滞导致的双Hopf分岔在开折参数的普识性方面是有本质区别的。上述三方面原因构成了本论文的研究动机，因此，有必要进一步研究时滞引起的双Hopf分岔问题。在国家自然科学基金(编号：10472083)的资助下，本论文对以下几个方面进行了研究，并得到一系列的成果：(1)对1999年以来国际上时滞动力学的研究进展做了简要综述，表明了时滞动 力学研究领域已经扩展到生态学、生命科学、神经网络、激光、IT技术、 机械工程、航空航天、保密通讯、经济等学科中，总结了其中的研究方法， 提出了一些亟待解决的问题，并对今后时滞动力学的发展方向提出了建议 和展望。(2)利用中心流形定理将时滞Stuart-Landau系统约化到四维中心流形上，通 过规范形方法得到中心流形的规范形，在对规范形进行分岔分析，得到了 非共振双Hopf分岔的开折和分类。然后利用四阶Runge-Kutta法进行数值 模拟，理论分析的结果与数值结果非常吻合。(3)利用中心流形定理将时滞神经网络系统约化到四维中心流形上，通过规范 形方法得到中心流形的规范形，再对规范形进行分岔分析，得到了非共振 双Hopf分岔的开折和分类。然后利用四阶Runge-Kutta法进行数值模拟， 两种结果非常吻合。(4)利用中心流形定理、规范形方法研究了糖尿病治疗中的人工胰腺生理模型 非共振双Hopf分岔的开折和分类。并进行了数值验证，二者完全相符。(5)研究了一类重要的生态系统-有时滞营养循环的半率依赖的捕食-被捕食 系统的稳定性问题。由于系统在正平衡点附近的特征方程在特征根实部 小于0时没有定义，因此作者构造了一个与原系统在正平衡点附近拓扑 结构等价的系统，两个系统在相应的平衡点处稳定性等价。对新系统构 造Lyapunov泛函，就可以得到其稳定性条件，即原捕食-被捕食系统的稳 定性条件。并用数值方法定性的进行了验证，结果表明：捕食者尸体分解 越快，时滞越小，整个系统就越容易稳定。这与生物实际相符合。本论文有以下三个方面的创新和特色：(1)针对Stuart-Landau系统、神经网络系统、糖尿病治疗中的人工胰腺生理模 型存在的双Hopf分岔现象，本论文对其进行了普适性分类，并相应解释了 每一种动力学行为对应的实际现象，如本论文解释了复杂的血糖波动(即 双稳态)产生的原因，所得到的结果在国内外尚未见到类似的报道。(2)与以往研究多振子同步问题的方法不同，通过求得双Hopf分岔分类解的解 析表达式，从理论分析而不是从数值分析，直接判断系统是否同步、何种 同步，避免了构造复杂的Lyapunov泛函。(3)建立了有时滞营养循环的半率依赖的捕食-被捕食分布时滞模型，使得模 型更准确的描述捕食者尸体分解、营养循环的过程。关键词：时滞，非线性，动力系统，稳定性，双Hopf分岔，开折，分类

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第一章 时滞微分动力系统研究进展

1.1背景、模型与结果

1.1.1生态学、生理学、生物力学与神经网络

1.1.2物理学与信息技术

1.1.3机械学、航空航天

1.1.4经济领域及其他

1.1.5非线性动力学基本理论领域

1.2研究方法

1.2.1平衡点的存在唯一性、稳定性和全局稳定性

1.2.2时滞动力系统的分岔分析

1.2.3混沌同步的机理、稳定性、优化

1.2.4解的鲁棒稳定性

1.2.5时间序列分析

1.2.6混沌识别与分类、控制

1.2.7差分方程的稳定性、优化

1.2.8其他

1.3有待解决的问题

1.3.1稳定性

1.3.2分岔和混沌

1.4计划与展望

第二章 基本理论

2.1 分岔

2.1.1分岔的基本概念

2.1.2 Hopf分岔定理

2.1.3分岔的余维数

2.2中心流形的约化与分析

2.2.1中心流形方法

2.2.2规范形方法

2.2.3 Poincaré截面

2.3时滞动力系统分岔研究

2.3.1中心流形方法

2.3.2多尺度法

第三章 Stuart-Landau时滞系统非共振双Hopf分岔

3.1非共振双Hopf分岔的临界条件

3.2中心流形约化和规范形

3.3 1：(√2)双Hopf分岔分类

3.4周期解的解析形式及其数值模拟验证

3.5结论与讨论

第四章 神经网络时滞系统非共振双Hopf分岔及其广义同步

4.1非共振双Hopf分岔

4.2 1:(√2)双Hopf分岔解及其稳定性

4.3结论与讨论

第五章 人工胰腺(Artificial Pancreas)生理模型中的非共振双Hopf分岔

5.1 双Hopf分岔点的存在性

5.2非共振双Hopf分岔的开折和分类

5.2.1中心流形约化

5.2.2规范形约化

5.2.3非共振双Hopf分岔的开折、分类和数值模拟

5.3结论

第六章 一类时滞营养循环捕食-被捕食模型的稳定性

6.1简介

6.2具有分布时滞的系统稳定性

6.3具有离散时滞的系统稳定性

6.4结论

致谢

参考文献

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