Dirichlet L-函数零点分布问题中相关函数的构造及估值

摘要

1742年，Goldbach在写给Euler的信中，提出三素数问题：每个不小于9的奇数可表示为三个奇素数的和。 1937年，I.M.Vinogradov利用圆法和线性素变数三角和估计方法，证明了存在充分大奇数N0，当N＞N0时，p1+p2+p3=N可解。我们把N0称为Vinogradov界。为了得到尽可能小的Vinogradov界，需要先有关于L-函数零点界限的尽可能好的定量结果。为此，必须构造出关于Dirichlet特征的辅助函数，并对其进行估值以得出定量结果。在文献[1]中，曾对二零点和三零点辅助函数进行构造并估值。本文首先将其推广到四零点辅助函数，并在此基础上构造出关于任意个零点的辅助函数，而后利用数学归纳法，完全解决其估值问题。全文共分四章。第一章，简要地介绍了哥德巴赫问题的由来和发展及文献[1]中对二零点和三零点辅助函数进行构造并估值的情况。在第二章中，简要地介绍了文献[1]中对二零点和三零点辅助函数进行构造并估值时所需要的一些引理。在第三章中，给出了关于四零点辅助函数g(x1，x2，x3，x4)的一个定量结果。在第四章中，给出了关于任意个零点辅助函数g(x1，x2，…，xn)(n≥4)的一个定量结果。本文的主要结果是在已有结果的基础上更深入的研究，不仅得到了一些全新的内容，将原有的结果做了推广，而且也统一了以前所知的有关结论，从而使得我们对研究Vinogradov界问题中需要的辅助函数有了完全的认识。关键词：Dirichlet特征，L-函数，四零点，n个零点，估值，Goldbach问题，Vinogradov界

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第一章二零点和三零点辅助函数的构造和估值

§1.1哥德巴赫问题的由来和发展

§1.2二零点辅助函数的构造和估值

§1.3三零点辅助函数的构造和估值

第二章对辅助函数进行估值时所需要的引理

§2.1对辅助函数进行估值时所需要的引理

第三章四零点辅助函数的构造和估值

§3.1四零点辅助函数的构造

§3.2 Xj(1≤j≤4)都是主特征，X1=X2=X3=X4=Xo(mod 1)

§3.3 Xj(1≤j≤4)中恰好有三个为主特征

§3.4 Xj(1≤j≤4)中恰好有两个为主特征

§3.5数学归纳

第四章任意个零点辅助函数的构造和估值

§4.1任意个零点辅助函数的构造

§4.2任意个零点辅助函数的估值

致谢

参考文献

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