解析数论中的特征和估计

摘要

我们给出解析数论中特征和估计的三个新结果,即:平移素数序列上的特征和,光滑数序列上的特征和,有限域上的部分高斯和.本文分为四章,第一章为引言,其余三章分别论述上述三个结果.
　　 在引言部分,我们首先回顾Dirichlet特征的定义及其性质,Pólya-Vinogradov与Burgess的经典特征和估计.其次,我们分别就本文的三个结果阐述它们的历史背景与最新进展.最后我们叙述了本文的主要定理.
　　 第2章我们研究平移素数序列上的特征和,即和式
　　 ∑p≤Nx(p+a),(1)
　　 其中x为模正整数q的非主特征,a为整数且与q互素.当特征x的模q为素数时,I.M.Vinogradov与A.A.Karatsuba得到了比直接使用广义Riemann猜想更为深刻的结果.1970年Karatsuba最终在N≥q1/2+ε时给出了(1)式的非平凡估计,ε>0为任一正常数.这一结果被认为达到了现有方法的极限.然而,对于正整数模的Dirichlet特征,目前只有Rakhmonov的结果.该结果最先发表于1986年,后在1995年有微小的改进.本质上Rakhmonov是在N≥q1+s时给出了(1)式的非平凡估计,所用方法为Pólya-Vinogradov的上界估计结合Vaughan恒等式.本章是作者与J.B.Friedlander和I.E.Shparlinski合作的结果.我们引入Burgess的方法,改进了Rakhmonov上述的结果.具体说来,我们在N≥q8/9+ε时给出了(1)式的非平凡估计.
　　 第3章我们研究光滑数序列上一类较广泛的特征和,即
　　 ∑n∈S(x,y)x(R1(n))eq(R2(n)),(2)
　　 其中x为模素数q的非主乘法特征,R1,R2为模q的有理函数,S(x,y)为区间[1,x]中全体y-光滑数的集合.一个正整数n称为y-光滑的如果n的最大素因子P(n)不超过)y.基于Perel'muter关于素数序列上一般特征和的结果,我们在条件
　　 若R2=ax+b,则R1不能等于x,1/x,也不能为一常数下给出不同的范围内(2)式的非平凡估计.最后我们列举了若干在较大范围内有非平凡上界的特殊情形.本章的结果在算法数论中有其潜在的应用价值.
　　 第4章我们研究有限域上的部分高斯和.令x为Fpn上的非平凡乘法特征,{ω1,…,ωn}为Fpn在Fp上的一个基.令B为如下定义的盒子
　　 其中Nj,Hj为满足条件0≤Nj　　 1)给定ε>0.存在r>ε2/4使得若B由(3)式定义且满足条件则当p>p(ε)时有
　　 除去以下的例外情形:当n为偶数且x｜F2为主特征时有
　　 其中F2是Fpn的pn/2元子域.
　　 2)给定0<ε≤1/4.若n≥2,B由(3)式定义且满足条件
　　 以上结果包含了张美珠和S.V.Konyagin近来的工作.

目录

文摘

英文文摘

第1章 引言

1.1 Dirichlet特征

1.2 经典特征和估计

1.3 素变数特征和估计

1.4 有限域上的和积定理与指数和、特征和估计

1.5 主要结果

1.5.1 平移素数序列上的特征和

1.5.2 光滑数序列上的特征和

1.5.3 有限域上的部分高斯和

第2章 平移素数序列上的特征和

2.1 引言

2.2 预备

2.2.1 若干估计与评注

2.2.2 Vaughan恒等式

2.2.3 Pólya-Vinogradov型上界

2.2.4 Burgess型上界

2.3 和式∑i,i=1,2,3,4的估计

2.3.1 和式∑1

2.3.2 和式∑2

2.3.3 和式∑3

2.3.4 和式∑4

2.4 定理2.1的证明

2.5 注

第3章 光滑数序列上的特征和

3.1 引言

3.2 若干引理

3.3 主要结果

3.4 特殊情形

3.5 注

第4章 有限域上的部分高斯和

4.1 引言

4.2 记号

4.3 预备

4.3.1 有限域上的特征和

4.3.2 Weil定理

4.4 主要结果

4.5 定理4.6的证明

4.6 定理4.7的证明

4.7 注

参考文献

致谢

个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果