有界约束半光滑方程组的信赖域方法

摘要

半光滑概念是光滑概念的推广，光滑可以说是半光滑的特殊情况。所以，研究具有半光滑性质的非线性系统问题并提出一种具有总体收敛性的算法将具有更为一般性的意义。本文主要分析研究在不同的范数意义下，分别使用仿射投影技术和内点回代法结合信赖域策略来解决有界约束非线性半光滑方程组问题。 在最流行的信赖域方法中，如何解决信赖域子问题是一个非常值得研究的问题，特别是仿射内点信赖域问题。而不同范数的选取直接关系到信赖域子问题的构建、柯西点的性质和算法的核心运算。本文研究无穷范数和欧氏范数这两个常用范数意义下的仿射尺度信赖域方法。无穷范数意义下，基于简单有界约束的非线性优化问题构建信赖域子问题。利用半光滑类牛顿步在可行域投影得到投影牛顿的试探步，获得搜索方向。在Dennis-Moré条件下证明，在正则解附近，信赖域算法转化为投影牛顿算法。这既保证了算法的全局收敛性，也得到了算法的局部超线性收敛速率。欧氏范数意义下，基于简单有界约束的非线性优化问题构建信赖域子问题，但所用的最小仿射尺度比Coleman-Li所用的仿射尺度更为一般。在没有严格互补假设条件下，本文所提供的最小仿射尺度，可给出更强的全局收敛性结果。 线性搜索方法和信赖域方法是保证最优化问题的整体收敛性的两种基本策略。本文研究与分析如何结合两种技术，使用非单调线搜索与信赖域策略结合来处理，不仅使算法具有整体收敛性，而且克服高度非线性的病态问题。对欧氏范数意义下的仿射尺度内点信赖域算法，利用数学软件Matlab编程进行数值实现，表明所提供算法的有效性和可靠性。 全文共分六章。第一章，简单介绍最优化的一些基本理论和概念。第二章，介绍部分半光滑理论。第三章和第四章，分别在无穷范数和欧氏范数意义下提出投影信赖域方法和仿射尺度内点信赖域方法。在合理假设条件下，证明算法的全局收敛性和局部超线性收敛速率。第五章，给出欧氏范数意义下算法的具体数值试验结果，表明了算法的可行性和有效性。第六章，对本文工作进行总结，同时提出了进一步的研究方向。

目录

文摘

英文文摘

论文说明：主要符号对照表

声明

第一章最优化理论基础

1.1最优化问题简介

1.2最优性条件

1.3最优化方法的结构

1.4信赖域方法

第二章半光滑理论

2.1半光滑的定义

2.2半光滑的相关重要性质

2.3半光滑投影类牛顿方法

2.3.1投影类牛顿算法

2.3.2收敛性分析

第三章半光滑投影信赖域方法

3.1引言

3.2半光滑投影信赖域算法

3.2.1临界准则

3.2.2试探步的计算

3.2.3投影信赖域算法

3.3全局收敛性分析

3.4局部收敛速率

第四章半光滑仿射尺度内点信赖域方法

4.1引言

4.2仿射尺度内点信赖域算法

4.3全局收敛性分析

4.4局部收敛速率

第五章数值结果

第六章小结

参考文献

致谢

攻读硕士学位期间的研究成果