一类滞时微分代数方程的稳定性和数值方法

摘要

微分代数方程(DAE)已被指明在许多科学与工程问题的数学模型中扮演着重要的角色。这些科学与工程问题包括多体力学，工程控制论，电力设计，化学反应系统，生物学及生态学，生物医学等等。历史上对于DAE的理解已经由简单逐渐演变到了更一般的情形。特别地，像指标(index)和可解性(solvability)等关键概念日趋成熟。这些概念描述了DAE和常微分方程ODE之间的差异。首先，作为DAE的解y，实际上隐含y的某个部分比其余部分更可微，余下部分仅仅连续而已，一般我们只假设y是充分光滑的。其次，方程F(t，y(t)，y'(t))=0中隐含代数约束，迫使我们必须在某乘积空间的一个线性或非线性流形上寻找方程的解。指标是指把一个DAE化为常微分方程ODE时，对方程全部或部分进行求导和坐标变换的最少次数。我们并不把这种一系列的求导和坐标变换作为一般求解过程，但在理解一个数值方法的性态时，所需的微分次数是一个重要的方面。如果DAE的指标为υ，那么它的解仍然满足某个ODE的解，当然，并不是ODE的所有解都是原DAE的解。然而，这个ODE对于DAE理论和某些一般数值求解过程是有用的。
　　 DAE系统大致可分为两类：一类是我们通常遇到的指标小于2的DAE系统，或者是高指标，具有Hessenberg型的系统。这一类系统主要有无约束隐式ODE；带有一个代数约束的ODE，即通过一次求导和坐标变换可化为无约束隐式ODE，或带有多个约束的Hessenberg系统。它们包括线性系统和非线性系统。另一类为指标大于等于2的DAE系统。这类系统隐含多个代数约束，通过若干次求导和坐标变换可以将其化为无约束隐式ODE。
　　 本文研究第一类DAE系统中带有时滞的系统，即滞时微分代数系统的稳定性和数值处理。在此系统中，时滞出现在未知函数的自变量中而使得DAE成为滞时微分代数系统DDAE(Delay-DAE)或中立型系统NDDAE(Neutral Delay-DAE)。
　　 首先我们在第一章对DAE作了简要介绍，并对本文工作进行了概述。
　　 在第二章和第三章讨论了线性滞时微分方程和中立型微分方程。我们通过对一个调和函数在有界区域边界上的估计，获得两个稳定性判定准则。我们的结果是对[17]中关于含单个时滞的方程的稳定性分析作了更一般的讨论。文献[8，9]中讨论的方程虽然带有多个时滞，但我们研究的方程中，未知向量的分量中含有不同的时滞，因而其稳定性分析较为复杂。数值试验阐述了时滞，边界参数与区域的关系。
　　 本文第四章讨论了关于带有一个代数约束的DDAE，我们应用矩阵的谱逆理论，寻求时滞微分代数方程的数值解，给出了差分方程的解的表达式。与文献[43]中的方法相比，我们的方法更易于计算。研究中指出了要处理的难点。例如，选取相容初始值受到一些因素的限制。首先，时滞的出现使得我们需要在一个连续函数空间上选取初始函数。其次，代数约束将迫使我们必须在某乘积空间的一个线性或非线性流形上寻找方程的解。例如：若方程F(t，y，y')=0的代数约束为g(y1，y2)=y2/1(t)+y2/2(t)-R2=0，y=(y1，y2)T，(R>0))我们将在R×R上的圆周y2/1+y2/2=R2上寻找DDAE之解。我们选取四级经典龙格库塔方法，设计了两套算法，并列出了误差估计。
　　 第五章研究了两步龙格库塔方法求解这类DDAE的稳定性问题。给出了一个充分条件。并把理论应用到文献[64]的一个实际问题中。给出了数值模拟。
　　 对于带有一个代数约束的DDAE，虽然已有许多研究，但是关于非线性DDAE本身的稳定性及其数值方法的稳定性研究显得十分困难，文献涉及极少。本文第六章给出了这类带有一个代数约束的非线性DDAE的稳定性和渐近稳定性的条件，研究了隐式欧拉法的稳定性和渐近稳定性。给出了数值模拟。