双极量子流体力学半导体模型解的渐近性态与经典极限

摘要

本文主要讨论了两个模型,是出现在半导体器件和等离子体里的一类一维双极量子流体力学模型,即双极量子Euler?poisson方程模型.模型一中,普朗克常量为ε=1,方程由质量守恒方程,及P oisson方程耦合而成.在合适的初边值条件下,我们将研究其稳态解的适定性.在相应的初边值条件下,研究非稳态解的全局存在性和渐近行为.模型二中,普朗克常量ε∈(0,1),在合适的初边值条件下,我们研究其稳态解的经典极限与非稳态解的经典极限。对于模型一,首先,在给定了合适的边值条件的有界区间里,建立一维双极量子流体力学方程稳态解的唯一存在性及相关性质.通过等价变形,将原来方程组变为四阶非线性和线性椭圆方程组,再由二阶椭圆方程的相关理论及S chauder不动点理论和能量估计的方法证明方程组的稳态解的存在唯一性,并获得一些椭圆估计.其次,在相应的初边值条件下研究双极量子流体力学模型的非稳态解的局部存在性以及改进后的初边值问题.通过等价变换,将一维双极量子流体力学方程组变为四阶非线性和线性抛物方程组.然后结合第二部分的得到的椭圆估计利用线性迭代及Galerkin方法来证明非稳态解的局部存在性。然后做扰动,得到相应的的扰动方程组。最后,在合适的初边值条件下讨论非稳态解的全局存在性及渐近行为.在扰动方程组的基础上,用能量估计的方法得到一个基本估计,用关于时间变量的求导得到一个高阶估计,最后用Gronwall不等式得到解满足一定的衰减估计.然后用连续性的方法的得到非稳态解的全局存在性。对于模型二,首先我们采用与模型一相似的方法建立其稳态解的存在唯一性和相关性质,然后对方程进行一些变形,利用P oincar′es不等式及函数收敛和弱收敛的一些性质,得到了稳态解的古典极限,即当普朗克常量ε趋于0时,量子Euler?P oisson方程的稳态解趋于经典Euler?P oisson方程的稳态解.其次,利用非稳态解已有的一些结论和Sobolev不等式, Schwartz不等式, Gronwall不等式及一些能量估计,我们得到了非稳态解的经典极限,即量子Euler?P oisson方程的光滑解趋于经典Euler?P oisson方程的光滑解。

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第一章 绪论

1.1 引言

1.1.1 模型一

1.1.2 模型二

1.2 一些记号

1.3 本文的主要结论

1.3.1 模型一的相关结论

1.3.2 模型二的相关结论

1.4 目前已有的成果

1.5 本文要解决的问题

第二章 一维双极量子流体力学方程稳态解的存在唯一性

2.1 稳态解的存在唯一性

第三章 一维双极量子流体力学方程解的局部存在性和原始方程的变形

3.1 解关于时间的局部存在性

3.2 原始方程的变形

第四章一维双极量子流体力学方程解的全局存在性和渐近行为

4.1 先验估计

4.2 一些基本估计

4.3 更高阶的估计

第五章双极量子Euler-poisson方程稳态解和非稳态解的极限

5.1 稳态解的经典极限

5.2 非稳态解的经典极限

致谢

参考文献

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