电磁场辛有限元法

摘要

本文先给出Hamilton辛体系中辛空间与Euclid 空间的区别,Hamilton原理的表达形式以及Hamilton正则方程.根据电磁场问题与结构力学的类比关系,把电场量E和磁场量H作为二类变量,通过变分原理寻求一般条件下的解法,将体系导入Hamilton对偶方程的辛几何形式,给出了电磁波导的Hamilton辛体系,并给出了辛本征值问题的表达形式.本文在电磁波导的辛体系的基础上建立了以电场量E和磁场量H的为对偶变量的有限元变分原理,分别构造了三角形单元、四边形等参单元和三维块体等参单元的对偶有限元模型并给出它们的列式,用此分析了谐振腔的本征值问题,得到了相应的模式和振型曲线,数值例子表明计算精度比常规有限元的结果有很大的提高,证明了对偶有限元的有效性.本文还针对谐振腔计算时常常出现的零根问题,利用奇异值分解(SVD)方法,构造了合适的算法,有效地剔除了零根.在电磁波导辛体系内讨论波导的通过谱,给出一定的波数并建立相应的变分原理,得出本征值方程并计算了波导的截止频率.针对常规分析分层波导时界面处理中忽略了边界连续问题的情况,提出了电磁场的主-从节点控制理论,分析了非均匀分层介质波导,得到了其色散曲线.由于许多材料具有介电各向异性,通过张量变换等主轴化方法,将各向异性波导的介电常数矩阵转化成对角阵,并求解该类波导的通过谱,得到了镜像线的色散曲线. 采用等效折射率的概念,将皱波导转化为折射率周期变化的多层薄膜,并将其对应为力学分析中的条形域问题.经半解析横向离散及辛正则化后,给出类凝聚和协调质量阵,然后计算了等效后的波导的辛本征值.考虑到等效的误差,所讨论的结果表明了在电磁波导辛体系下,用等效折射率方法解决周期性皱波导问题还是比较有效的.本论文有关对偶变量的辛有限元的实例研究表明,将力学中的相关理论应用于计算电磁学中,的确能提高相应问题的求解精度并解决有关难题,是交叉学科中的有益尝试和很有意义的研究方向.