顶点算子超代数的表示

摘要

超对称性在二维共形场论中扮演了重要的作用，这促使我们来研究顶点算子超代数及其表示理论.顶点算子超代数是顶点算子代数的自然推广.H.Tsukada(1990)研究了一些重要的顶点算子超代数.V.G.Kac和W.Wang(1996)详细地研究了三类重要的顶点算子超代数，即关于仿射Kac-Moody超代数、Neveu-Schwarz(NS)代数、自由费密子的顶点算子超代数.他们把Y.Zhu的A(V)-理论推广为顶点算子超代数的A(V)-理论，并讨论了顶点算子超代数的表示理论.H.Li(1996)利用顶点算子的Localsystem构造并讨论了顶点算子超代数及其表示.徐晓平(1998)在其书中也给出了许多有关顶点算子超代数及其模的知识.本文，我们进一步研究了顶点算子超代数和相关的结合代数的表示，顶点算子超代数的双模理论，以及利用Neveu-Schwarz(NS)-型的顶点算子超代数和二元线性码理论构造了一类编码顶点算子超代数，进而研究了其表示理论.本文将分三部分来分别讨论顶点算子超代数的表示问题. 第一部分：设V是一个顶点算子超代数.我们得到了一系列的结合代数An(V)(对任何n∈i/2+Z+(i∈{0，1})).我们也给出了An(V)-模但非An-1/2(V)-模的不可约模范畴和单的可容许的V-模的范畴之间的一一对应关系.对于给定的An(V)-模但非An-1/2(V)-模U，我们还构造了一类广义Verma可容许的V-模Mn(U).进而利用结合代数的表示进一步研究了顶点算子超代数的表示论. 第二部分：对于任意一个顶点算子超代数V，m，n∈1/2Z+，通过构造An(V)-Am(V)-双模An,m(V)，讨论了双模An，m(V)的性质.刻画了V的一个从可容许的V-模的第m层子空间到第n层子空间的作用.我们利用An,m(V)和Am(V)-模U还构造了一类Verma型可容许的V-模M(U)=⊕n∈1/2Z+An，m(V)⊕Am(V)U，证明了M(U)与本文第一章构造的广义Verma可容许的V-模M(U)的确是同构关系. 第三部分：我们首先讨论了顶点算子超代数的张量积.进而，我们利用任意一个含有奇重量的二元码研究了编码顶点算子超代数的表示论.利用M.Miyamoto的证明，我们证明了满足本文假设的(V,Y)同构于MD，其中D是某个含有奇重量码字的二元线性码.此外，我们也证明了对任意一个含有奇重量码字的二元线性编码D，编码顶点算子超代数MD是有理的.进而，我们利用M.Miyamoto的结论和诱导模的方法给出了MD的不可约表示的一般形式.利用这个结果，我们进一步研究了汉明顶点算子超代数MH7的表示.证明了在汉明顶点算子超代数MH7中只存在一组7个相互正交的中心电荷为1/2的共形向量.并且我们还给出了所有的汉明顶点算子超代数的不可约表示的分类.

目录

文摘

英文文摘

声明

第零章绪论

§0.1背景及相关结果介绍

§0.2本文的主要工作

第一章顶点算子超代数及相关的结合代数的表示

§1.1背景及其意义

§1.2顶点算子超代数及其表示

§1.3顶点算子超代数相关的结合代数An(V)

§1.4顶点算子超代数相关的李超代数g(V)

§1.5顶点算子超代数模范畴的函子Ωn

§1.6模范畴的函子Ln和广义verma模

第二章 顶点算子超代数的双模

§2.1背景及其意义

§2.2 An(V)-Am(V)-双模An1m(V)

§2.3 An1m(V)的性质

§2.4与顶点算子超代数表示的联系

第三章 编码顶点算子超代数的表示

§3.1背景及其意义

§3.2顶点算子超代数的张量积

§3.3结合代数A(W)和双模的结构

§3.4顶点算子超代数(M)D的表示

§3.5汉明编码顶点算子超代数(M)H7

参考文献

附录一 致谢

附录二作者读博士期间发表和录用论文情况