带粘性项非线性波动方程Cauchy问题在奇数维空间中解的存在性

摘要

本文我们研究的是带耗散项波动方程Cauchy 问题解的整体存在性和逐点估计。带耗散的波动方程有两种，一种是带阻尼的波动方程，另一种是带粘性的波动方程。 这两类方程除自身具有的物理意义外，也可看作是带阻尼项的Eeler 方程和Navier-Stokes 方程的简化，所以关于它们的研究引起众多数学家的关注。本文考虑的是带粘性项非线性波动方程的Cauchy 问题。 由于弱惠更斯原理的效应，我们仅考虑空间维数n ≥3的奇数维情形。 因为无法用能量方法控制低阶导项，所以我们通过Green 函数来定义一个映射，运用不动点原理得到解的存在性。同时，在这一过程中，我们充分利用了解的衰减特性，直接得到解的整体存在性，而不需像通常先得到解的局部存在性再延拓到整体存在性。 这一方法也可很方便地借助Green 函数的精细估计得到解的逐点估计，描述了解的弱惠更斯原理。