广义高次Koszul代数及Koszul代数的一些相关问题

摘要

这是一篇利用代数表示论的方法研究Koszul理论的博士论文.它的主要结构如下.
　　 1.首先,我们推广了高次Koszul模与高次Koszul代数,引入了广义高次Koszul模与广义高次Koszul代数的概念.我们证明了若∧是一个d-Koszul代数.M是广义d-Koszul模,则M的偶次Ext-模Eev(M)是Koszul代数Eev(A)上的Koszul模,并籍此讨论了高次Koszul模奇次Ext的Koszul性及其庞加莱级数的有理性.我们考察了广义高次Koszul代数以及其单点扩张代数,并对其单点扩张代数上的模给出一个具体刻画.
　　 2.其次,我们考察了分次Morita定理,给出一般分次等价不保持Koszul性的例子,指出保持纯粹模的分次等价保持代数的Koszul性与高次Koszul性.
　　 3.最后,在第4,5章我们介绍了一些具体的Koszul代数和高次Koszul代数的例子,包括对称代数,外代数以及Yang-Mills代数.证明了对称代数足Calalbi-Yau代数并给出Yang-Mills代数一个分类.

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文摘

英文文摘

上海交通大学博士学位论文答辩决议书

引言

第一章 基础知识

1.1 正分次环,分次模以及标准分次代数

1.1.1 正分次环及分次模

1.1.2 分次投射模,分次投射盖与分次极小投射分解

1.1.3 标准分次代数

1.2 Koszul代数及Koszul型代数

1.2.1 Koszul代数与Koszul复形

1.2.2 Koszul型代数

1.2.3 d-Koszul代数

1.2.4 其他Koszul型代数

第二章 广义高次Koszul模及广义高次Koszul代数

2.1 定义及基本性质

2.2 d-Koszul代数上的广义d-Koszul模

2.2.1 高次Koszul模的奇次Ext

2.2.2 高次Koszul模庞加莱级数的有理性

2.3 广义高次Koszul代数

2.3.1 广义d-Koszul代数的反代数

2.3.2 广义高次Koszul代数的单点扩张

第三章 Koszul代数上的分次Morita理论

3.1 分次Morita理论

3.2 一般分次等价对Koszul性的保持

3.3 保持纯粹模的分次等价

第四章 对称代数与外代数

4.1 基本概念与性质

4.2 对称代数足Calabi-Yau代数

第五章 三次Yang-Mills代数

5.1 定义与性质

5.2 分类定理

参考文献

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