环与半群的图结构与代数结构

摘要

零因子图是近年来一个新的研究领域,主要研究环与半群的代数结构、性质与其零因子图的图结构、图性质之间的关联关系.本论文主要是利用零因子图来研究交换半群及交换环的代数结构和代数性质,主要探讨星图加细,以及不包含四边形的零因子图对应的交换半群、有限交换环的结构及其同构分类.对于中心为c的星图加细G,我们用G*c来表示由顶点集V(G)＼{c以及与c相连的端点}生成的子图.
　　 全文共分以下几个部分,具体内容如下:
　　 第零章是绪论,介绍了零因子图的产生背景和已有的研究成果,并简要介绍了本文的主要结果.
　　 第一章主要讨论由星图加细确定的幂零半群的代数性质,并回答了我们曾在文献[1]中提出的一个公开问题:什么样的图范畴()具有如下的性质s对于任意的G∈(),存在唯一的幂零半群S满足Г(S)≌G?其中Sn={0},Sn-1≠{0}.对于任意的有限正整数n≥5,构造了一个唯一的幂零半群S满足Г(S)是有唯一中心的星图加细且Г(S)＼T的生成子图是K1,n-3,其中Sn={0},Sn-1≠{0},T是与中心相连的所有端点的集合.
　　 第二章和第三章主要研究有限局部环的同构分类.局部环的同构分类一直是代数学里一个重要的研究课题.我们在这两章的研究运用的是一种与以往不同的思路,即利用Г(R)的图论性质来确定环R的结构,并进一步研究环的同构分类问题.D.F.Anderson和P.S.Livingston[2]证明了有限局部环的零因子图是星图加细,并且有限真星图加细对应的交换环一定是有限局部环.这是我们研究的出发点.对于中心为c的真星图加细Г(R),只有两种情况。即Г(R)*c至少有两个连通分支、或者Г(R)*c是单连通.当Г(R)*c少有两个连通分支时,第二章证明了RZ(R)是由两个元素α1,α2生成的,其中α1,α2分别包含在Г(R)*c的两个不同的连通分支内(定理2.3.3).基于这一结论,证明了R是有限局部环,并确定了环R的结构及其同构分类.余下的问题是单连通的情况,我们引进c-局部环的概念并证明了对于c-局部环,当Г(R)*c是单连通时,diam(Г(R)*c)=2(定理2.3.9).进一步地,第三章证明了对于任意的有限c-局部环R,极大理想Z(R)一定有一个极小生成元集具有c-划分(定理3.2.6).借助于该结论,得到了有限c-局部环的结构定理和同构分类.
　　 第四章回答了卢丹诚博士和武同锁教授[3]提出的一个公开问题:如何刻画不包含四边形的零因子图?我们给出了不包含四边形的零因子图的完全分类,即不包含四边形的零因子图为下述图之一:独点集、星图、双星图、三角形带n个角(n=0,1,2,3)、风车图、中心带一个角的风车图(定理4.2.2).此外,还完全确定了这些图(无限星图除外)对应的所有交换环.

目录

文摘

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答辩决议书

第零章 绪论

§0.1基本概念

§0.2背景和已有成果介绍

§0.3本文主要结果

第一章 星图加细对应的幂零半群

§1.1预备知识

§1.2星图小加细对应的幂零半群

§1.3幂零半群的构造

第二章 真星图加细对应的有限局部环

§2.1预备知识

§2.2环R满足Γ(R)是完全图带一个角

§2.3 RZ(R)的极小生成元集

第三章 有限c-局部环的结构

§3.1预备知识

§3.2极大理想m的极小生成元集的c-划分

§3.3结构定理和同构分类

第四章 不包含四边形的零因子图

§4.1预备知识

§4.2图对应的半群

§4.3图对应的交换环

参考文献

附录一 致谢

附录二 作者攻读博士期间发表和录用论文情况