图张开及其在互极大图与互极大理想图中的应用

摘要

图张开(Graph Blow-up)是一种由简单图构造相对复杂图的技巧，它由J.Komlós等人于1997年在文献[47]提出，后来被V.Nikiforov在[77，2008]用来研究子图的计数问题。最近S.M.Moconja和Z.Z.Petrovi（c）在[73，2011]将图张开的概念进行了适当推广，并用来描述互极大图。本文首先收集和整理了图张开与图收缩的图性质，研究了互极大图(Co-maximal Graph)和互极大理想图(Co-maximalIdeal Graph)的图性质，证明了如果一个环的极大理想个数有限，则它的互极大图和互极大理想图都可以由某个Boole图张开得到;在此基础上，研究了互极大理想图分别为二部图、平面图的时候对应的环的结构。最后通过研究互极大图和互极大理想图，得到关于交换环的一些分类问题。全文共分五章，具体内容如下。
　　 第一章介绍图论和交换环论中的若干概念，并罗列了本文反复使用的一些已知定理。
　　 第二章介绍和研究本文要用到的图张开和图收缩有关概念和性质，特别是给出了图张开保持图的某些参数不变的若干结果。这主要是为后面第四章做准备工作。
　　 第三章首先给出了互极大图，互极大理想图和互极大图的一种收缩图的定义，研究了互极大图和互极大理想图的图性质，并给出了一些例子;最后，研究了互极大图何时为一个可裂图。
　　 第四章给出了图张开的重要应用，证明了当环的极大理想个数有限的时候，对应的互极大图和互极大理想图都可以通过Boole图进行图张开获得;并根据图张开的不变性研究了一些互极大图和互极大理想图的图性质，简化了一些已知定理的证明。
　　 第五章研究了互极大理想图为二部图时的图性质以及相应环的代数性质;确定了互极大理想图为平面图时对应的环的结构;通过研究何时互极大图和互极大理想图为有限图，得到几个纯粹环论的结果。

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 研究背景介绍

1．2 预备知识

1．2．1 图论及其相关概念

1．2．2 交换环的互极大图和互极大理想图

第二章 图张开的定义和性质

2．1 图张开与图收缩的定义

2．2 图张开的图性质

第三章 互极大图和互极大理想图的定义和图性质

3．1 互极大图与互极大理想图的定义和例子

3．2 互极大图与互极大理想图的图性质

3．3 关于可裂图的研究

第四章 图张开在互极大图与互极大理想图中的应用

4．1 Boole图

4．2 利用Boole图构造互极大图和互极大理想图

4．3 关于直径问题的进一步讨论

第五章 图到代数结构

5．1 二部图

5．2 平面图

5．3 利用图得到环论的结论

参考文献

攻读博士学位期间完成的学术论文

致谢