界约束非线性最小二乘问题的无导数算法

摘要

在物理、生物、经济、工程结构、电路设计、航天航空等领域中的很多非线性最小二乘问题如同一个“黑匣子”一样，我们很难得到具体的函数表达式，只能通过做实验等方法来取得函数值，想获得其导数值更是几乎不可能。本文针对这类特殊的问题，在Powell的无导数算法的基础上，充分利用最小二乘问题本身的特殊结构，采用函数逼近的方法并通过信赖域技巧来进行算法设计。我们通过截断共轭梯度法来求得步长，同时通过投影算子把其投在可行域内。此外，我们还专门设计了治疗步骤来不断地调整逼近模型，减小误差，使算法更加有效。当误差累积到一定程度时，则通过补救步骤来重新选择插值点集并重建模型。本算法的优点在于能够克服拟牛顿法的缺陷，有效处理存在白噪声的问题，也特别适用于那些目标函数值的计算成本很高的问题。我们在有或无白噪声的情况下将算法与Matlab中的无导数算法进行了比较；此外，我们还在真正“黑匣子”的状态下，通过CUTEst测试环境进行了实验，检验算法的效率。

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第一章 绪论

S1.1 背景介绍

S1.1.1 非线性最小二乘问题

S1.1.2 无导数优化

S1.2 本文的主要工作

S1.3 本文结构

第二章 界约束非线性最小二乘问题的无导数算法

S2.1 算法

S2.2 初始设置

S2.3 模型更新

S2.4 信赖域步骤

S2.5 治疗步骤

S2.6 补救步骤

第三章 数值实验

S3.1 Matlab测试

S3.2 CUTEst测试

第四章 展望

参考文献

附录一 攻读硕士学位期间发表和完成的论文

致谢