一类动力系统的孤立奇点稳定性分析及其应用

摘要

众所周知，微分方程的建立与众多的物理、化学、经济、生态系统息息相关，而现代科学技术的发展在很大程度上也依赖于这方面的成就与进展，如众多数理方程反映了物理学上的某一类普遍规律，作为有着广泛应用背景的反应扩散方程也是如此。而考虑其稳态意义下的情形便可转化为常微分方程的问题。 稳定性理论是微分方程的重要分支，是由研究运动问题而发展起来的。俄国伟大数学家李雅普诺夫首先给出了稳定性的严格的数学定义，并建立了一系列丰富的理论，在常微分方程定性理论及其稳定性理论中，判定系统的奇点稳定性占有一席之地，得到很多数学家们的关注。最著名的李雅普诺夫判定法或称为直接法，其次是辅助函数法。用线性化系数矩阵的特征值，对奇点进行初等分类同样给出了一种判定稳定性的方法。这些方法简洁有效，理论上较完备，可是应用上较困难。 论文在第一章中总结了定性分析中奇点的分类与稳定性的判定，从平面自治系统的奇点分类到双曲奇点的判定，中心焦点的判定都是经典结果。对临界情形奇点的分类及高阶奇点的情形给予系统的总结。另外介绍了几何判定法与射线投影判定奇点稳定性的方法。 第二章中主要总结了部分李雅普诺夫辅助函数法判定奇点的稳定性态的结果。介绍了几种李雅普诺夫函数的构造方法，以及动能水平集方法，并利用孤立极值把奇点稳定性与优化极值联系起来，讨论了哈密顿型系统的奇点稳定性的判定， 第三章是论文的创新部分，把一类反应扩散方程转化为四维动力系统。对此系统孤立奇点的稳定性进行了详细的分析。给出了系统为哈密顿系统的充要条件，并给出非线性系统奇点的稳定性判定方法，解决了此类非线性系统的奇点稳定性判定问题，并把此方法进一步的推广到n维系统和其他类非线性系统。 第四章中分析了两个奇点稳定性的应用例子。G-L超导模型稳定性分析中通过系统在常稳态意义下的奇点定性分析以及发展型模型的奇点分析，很好地解释了高温超导材料会出现奇特现象。FHN模型的稳定性分析中讨论了鱼神经系统的奇点稳定性态，也很好的解释了鱼神经的一些混乱现象，这对人的神经系统的分析有一定的指导意义。 由于科学技术的日新月异，特别是自动控制、物理化学、生物数学等的出现使稳定性理论发展更快，新的课题、方法不断涌现。而奇点反映了客观中的静止平衡状态，奇点稳定性问题对系统平衡点振荡性质有重要的指导意义，从而研究奇点稳定性有重要的应用价值。

目录

文摘

英文文摘

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引言

第一章定性分析中奇点稳定性判定

§1.1平面自治系统奇点的稳定性

1.1.1线性系统的孤立奇点

1.1.2双曲奇点的判定

1.1.3中心的判定

1.1.4适用于系统含有一次项的中心—焦点判定法——Poincare形式级数法

1.1.5一个判定中心和焦点的充分条件

1.1.6高阶奇点的判定

1.1.7具有零特征根系统奇点的判定

1.1.8几何方法判定平面解析系统奇点的稳定性

§1.2高维系统奇点的判定

1.2.1三维线性系统的奇点

1.2.2 n维线性系统的奇点

1.2.3 n维非线性系统的奇点

§1.3射线投影法判定奇点稳定性

§1.4小结

第二章辅助函数法判定奇点稳定性

§2.1李雅普诺夫稳定性与不稳定性定理

§2.2李雅普诺夫函数的构造

2.2.1典型的Liapunov函数构造方法

2.2.2动能水平集方法

§2.3孤立极值与稳定性

§2.4极值法判定奇点的稳定性

§2.5非线性系统按第一近似判定奇点稳定性

§2.6本章小结

第三章一类四维动力系统孤立奇点稳定性分析

§3.1引言

§3.2主要结果

3.2.1一次近似系统奇点的稳定性

3.2.2非线性系统(3.1')奇点的稳定性

§3.3结论

第四章奇点稳定性态的相关应用

§4.1 G-L超导模型稳定性分析

4.1.1模型背景

4.1.2 G-L方程常稳态意义下的定性分析

4.1.3高温超导材料的应用前景

§4.2 FHN模型的稳定性分析

4.2.1前言

4.2.2奇点稳定性分析

4.2.3结论

§4.3本章小结

参考文献

作者攻读硕士学位期间公开发表的论文

致谢