微分方程解析解及解析近似解的符号计算研究

摘要

自然界中的很多现象都可用非线性微分方程来描述.非线性微分方程解析解的研究对洞察事物内部的结构,剖析事物之间的关系,并应用于解释各种物理现象都起到至关重要的作用.高性能计算机的诞生,极大地推动了非线性微分方程领域的符号计算研究,涌现出了许多构造非线性微分方程解析解的方法和算法.本文以非线性微分方程为研究对象,借助于非线性代数系统Maple,研究了多种构造非线性微分方程精确解及解析近似解的方法和算法.主要工作如下： 第一部分研究构造非线性演化方程精确解的方法和算法,具体包括两方面的内容： 对已有的构造非线性演化方程精确行波解的几种代数方法,如Riccati方程方法、耦合的Riccati方程方法、假设法、形变映射法等进行了推广和整合,提出了“椭圆方程方法”.并结合吴消元法的思想和方法,在计算机代数系统Maple上编写了推导非线性演化方程精确行波解的软件包RAEEM,该软件包可自动推导出输入方程-系列可能的精确行波解,其中包括多项式解、有理函数解、指数函数解、三角函数解、双曲函数解及Jacobi椭圆函数解、Weierstrass椭圆函数解等. B(a)cklund变换研究对非线性微分方程的可积性及精确解的求解都有十分重要的意义.特别是,一旦从B(a)cklund变换推导出解的非线性叠加公式,则仅通过代数运算就可构造微分方程的新解.我们借鉴已有的构造B(a)cklund变换的方法,提出了构造1+1维非线性演化方程一类自B(a)cklund变换的机械化算法,并结合吴文俊数学机械化思想,在计算机代数系统Maple上实现了该算法,其中的软件包AutoBT不仅可自动推导出输入方程的可能的特定类型的自Backlund变换及相应的参数约束条件,还可自动推导出解的非线性叠加公式. 第二部分研究非线性微分系统解析近似解的求解方法和算法.同伦分析方法是近几年发展起来的构造非线性系统解析近似解十分有效的方法.与摄动方法不同,同伦分析方法的有效性与所考虑的非线性问题是否含有小参数无关.此外,不同于所有其它传统的摄动方法和非摄动方法,如人工小参数法,δ展开方法和Adomian分解方法等,同伦分析方法本身提供了一种方便的途径来控制和调节解级数的收敛速度和收敛区域.同伦分析方法已被广泛应用于求解应用数学和力学中的许多问题. 复合介质在物理学和工程领域随处可见,因此,复合介质的实验与理论研究受到了广泛的重视.摄动方法是求解弱非线性复合介质问题的有效工具.求解强非线性复合介质问题仍然非常困难,同伦分析方法的提出为强非线性问题的求解提供了有效的工具.文[85]和[86]分别应用同伦分析方法构造了强非线性复合介质问题的解析近似解,然而,为了计算简单,他们首先应用模式展开法将原系统简化为常微分系统,且只截取到第一模式项,这使所得的常微分系统与原系统之间存在较大的误差.为了提高解的精度,本文选取线性算子为线性偏微分方程,直接应用同伦分析方法构造原系统的解析近似解.所获结果明显优于已有的摄动解及同伦分析解.另外,本文也将同伦分析方法推广应用到分数阶微分方程情形.

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章绪论

1.1研究背景

1.2本文的选题和主要工作

第二章构造非线性演化方程精确解的一般原理

2.1 Riccati方程方法

2.2耦合的Riccati方程方法

2.3三耦合的Riccati方程方法

2.4其它方法

第三章椭圆方程方法和软件包RAEEM

3.1椭圆方程方法的求解步骤

3.2 RAEEM的接口及使用

3.3 RAEEM的实现步骤及关键策略

3.4 RAEEM软件包的应用

3.5一个非线性演化方程精确解的符号计算

3.6本章小结

第四章非线性演化方程一类自B(a)cklund变换的自动推演

4.1构造非线性演化方程自B(a)cklund变换的变分方法

4.2构造B(a)cklund变换的线性组合算法

4.3线性组合算法在Maple上的实现

4.4软件包AutoBT的应用

4.5本章小结

第五章同伦分析方法

5.1同伦分析方法的基本原理

5.2分数微积分

5.3分数阶非线性微分方程的同伦分析解

第六章静电场边值问题的解析近似解

6.1方程和边界条件

6.2研究背景

6.3构造静电场边值问题同伦分析解的步骤

6.4解的分析与比较

6.5有效电导率

6.6本章小结

第七章总结与展望

7.1总结

7.2展望

附录

参考文献

致谢

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