循环同调的一些方面与量子拟Shuffle代数

摘要

在本文中，我们研究了与循环同调相关的三个主题；强smash积代数的循环同调，Bichon代数的Hopf-循环同调，以及一个“自然的”阶化Hopf代数的循环上同调.另外，我们还研究了一个相对独立的主题，是关于量子拟shuffle代数的一些性质.
　　 本文主要由四章组成，每一个主题构成一章.
　　 计算各种交叉积的循环同调一直以来循环同调论研究中一个重要而极为困难的研究课题.在第二章中,我们定义了一类涵盖更为广泛的所谓“强smash积代数”的类，即对两个代数A、B的关于从B?A到A?B的双射R的强smash积代数A＃RB，对这类强smash积代数，我们采用（源自辫子张量范畴理论中类似的）“辫子图”的运算办法，构造了一个柱形模A√B，并用图的方法证明了这个柱形模的对角模△.(A√B)作为一个循环模同构于代数的循环模C（A＃RB）.应用广义的Eilenberg-Zilber定理，我们构造出一个谱序列，使其收敛于A＃RB的循环同调.
　　 特别地，我们证明了：在Hopf代数的对极可逆时，经典的交叉积代数、Takeuchi定义的smash积、张量范畴中代数的张量积、Majid关于Hopf代数的双交叉积等等都是强smash积代数，尤其对于很多具有Drinfeld's quantum double结构的代数对象，由于均可通过Majid的Hopf代数的双交叉积来构造，因此我们的强smash积代数，实际上涵盖了目前很受关注的量子群、双（多）参数量子群、（源自Nichols代数分类的）点Hopf代数的类等有趣而更为广泛的代敬对象.因而，我们对强smash积代数所建立的循环同调论，其适用范围不仅远远超出了前人的研究框架（如[22，1]），而且由于强smash积代数由于考虑了相互作用的平衡性以及A、B两个代数的二者之一“好”的同调性质的可选择性，使得我们可以有效处理一些在[22]和[1]的框架下不能计算或不便计算的例子.本章最后我们给出了一些例子来具体说明我们的上述结论.
　　 在第三章中，我们计算了Bichon代数BN（其中N是素数）的关于非平凡对合模对的Hopf-循环同调.我们给出了一些新的关于Gauss多项式的q恒等式，这些等式在计算Hopf-循环同调时将非常有用.接着我们构造了K的一个比较小的自由BN-模分解，这个分解使计算Bichon代数的系数在K中的Hochschild同调变得非常简单.Bichon代数的重要性在于，它上面的余模范畴和N-微分阶化代数的范畴，作为张量范畴，是等价的.而N-微分阶化代数有与被Kassel、Wambst、Berger和Dubois-Violette等研究的N-复形密切相关.在第四章中，我们找到了一个阶化Hopf代数，证明了阶化微分代数范畴和这个阶化Hopf代数上的阶化左余模范畴作为张量范畴是等价的.通过计算这个阶化Hopf代数的阶化Hopf-循环上同调，利用特征映射，我们构造出含有封闭阶化迹的阶化微分代数的循环上圈.
　　 在第五章中，我们给出了量子拟shuffle代数的-些性质，包括构造量子拟shuffle积的充分必要条件，普遍性定理，和交换性条件.作为应用，我们使用量子拟shuffle积构造了T(V)的一组线性基，其中（V,m，δ）是一类特殊的Yang-Baxter代数.